|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Continuity of vector space operations
ช่วยแสดงให้ดูหน่อยนะครับ
Show that in a normed space $X$, vector addition and multiplication by scalars are continuous operations with respect to the norm; that is, the mappings defined by $(x,y) \mapsto x+y$ and $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$ are continuous. ขอบคุณมากนะครับ |
#2
|
|||
|
|||
ใช้นิยามความต่อเนื่องแบบไหนครับ
ขอทำแบบลำดับให้ดูนะครับ สมมติ $(x_n,y_n)\to (x,y)$ ดังนั้น $x_n\to x,y_n\to y$ จึงได้ $+(x_n,y_n)=x_n+y_n\to x+y$ ดังนั้น $+$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อีกอันนึงก็แทบจะไม่ต้องทำอะไรเลยครับ ตามนิยามการลู่เข้าทุกอย่าง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
อีกแบบทำยังไงครับพี่
|
#4
|
|||
|
|||
ก็สมมติ $(\alpha_n,x_n)\to (\alpha,x)$
ที่เหลือก็ทำเหมือนเดิมครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
|||
|
|||
พี่ครับ ผมขอนิยามความต่อเนื่องในแต่ละแบบหน่อยครับพี่
ขอบคุณครับ ช่วยเช็คข้อที่สองหน่อยครับ เราจะแสดงว่า $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$ พิจารณา $$\begin{eqnarray*} ||\alpha_{n}x_{n}-\alpha x|| &=& ||\alpha_{n}x_{n}-\alpha_{n}x+\alpha_{n}x-\alpha x|| \\ &\leq & |\alpha_{n}|||x_{n}-x||+||x||||\alpha_{n}-\alpha|| \end{eqnarray*}$$ เนื่องจาก $(\alpha_{n})$ เป็นลำดับลู่เข้า ดังนั้น $(\alpha_{n})$ เป็นลำดับที่มีขอบเขต นั่นคือ จะมีจำนวนจริงบวก $M_{1}$ ที่ทำให้ $|\alpha_{n}|\leq M_{1}$ สำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ ให้ $M=\max\{M_{1}, ||x||\}$ ดังนั้นสำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ $$||\alpha_{n}x_{n}-\alpha x|| \leq M||x_{n}-x||+M||\alpha_{n}-\alpha||$$ ให้ $\epsilon > 0$ และสมมติว่า $(\alpha_{n}, x_{n}) \rightarrow (\alpha, x)$ เราจะได้ว่า $\alpha_{n} \rightarrow \alpha$ และ $x_{n} \rightarrow x$ นั่นคือ จะมีจำนวนเต็มบวก $K_{1}, K_{2}$ ที่ทำให้ $$||\alpha_{n}-\alpha||<\dfrac{\epsilon}{2M} \qquad \textrm{และ} \qquad ||x_{n}-x||<\dfrac{\epsilon}{2M}$$ สำหรับทุก $n \geq K_{1},K_{2}$ ต่อมาให้ $K=\max\{K_{1}, K_{2}\}$ ดังนั้นถ้า $n \geq K$ แล้ว $||\alpha_{n}x_{n}-\alpha x||<M \dfrac{\epsilon}{2M}+M\dfrac{\epsilon}{2M}= \epsilon$ นั่นคือ $\cdot (\alpha_{n}, x_{n}) \rightarrow \cdot (\alpha , x)$ เช็คให้หน่อยนะครับ ขอบคุณมากครับ 27 สิงหาคม 2011 23:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Lekkoksung |
#6
|
|||
|
|||
สมบูรณ์แล้วครับ
ความต่อเนื่องก็นิยามแบบ $\delta-\epsilon$ สำหรับ metric space แต่ถ้าเป็น topological space ใดๆ ก็ใช้ $f^{-1}(V)$ เป็น open set สำหรับทุก open set $V$ ในส่วนของ space ที่มีสมบัติดีหน่อยอย่างเช่น metric space เราสามารถพิสูจน์ผ่านทาง sequence ได้ด้วยครับ เหมือนที่ผมทำให้ดู
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
|||
|
|||
ขอบพระคุณมากครับอ้ายหนุ่ย
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ขอถาม Banach space หน่อยครับ | touyzana | Calculus and Analysis | 1 | 29 มิถุนายน 2011 19:23 |
รบกวนด้วยนะครับ metric space กับ จุดกับมิต | Tohn | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 24 พฤศจิกายน 2010 11:11 |
ถามเรื่อง Vector calculus (or vector analysis) | thai_be | Calculus and Analysis | 9 | 28 กุมภาพันธ์ 2009 22:32 |
Coordinates in space | first | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 20 มกราคม 2008 22:11 |
ช่วยพิสูจน์ เกี่ยวกับ Topological Continuity | kanji | Calculus and Analysis | 7 | 02 กรกฎาคม 2006 20:47 |
|
|