|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์แนวสมาคมคณิต
ถ้า$\frac{a_1}{b_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{a_3}{b_3}=\frac{b_4}{a_4}=...=\frac{a_{2555}}{b_{2555}}=k$
และ $(b_2+b_4+b_6+...+b_{2554})=(\frac{k}{1-k})(b_1+b_2+b_3+...+b_{2555})$ แล้ว จงหาค่าของ $\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2555}}{b_1+b_2+b_3+...+b_{2555}}$ และหาค่าของkที่เป็นไปได้ |
#2
|
||||
|
||||
$a_1+a_3+..+a_{2555}=k(b_1+b_3+...+b_{2555})$
$a_2+a_4+...+a_{2554}=\frac{1}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554}) $ $a_2+a_4+...+a_{2554}=\frac{1}{1-k}(b_1+b_2+...+b_{2555})$ $(1-k)(b_2+b_4+...+b_{2554})=(a_1+a_3+..+a_{2555})+k(b_2+b_4+...+b_{2554})$ $a_1+a_3+..+a_{2555}=(1-2k)(b_2+b_4+...+b_{2554})$ $a_1+a_3+..+a_{2555}=\frac{k(1-2k)}{1-k}(b_1+b_2+...+b_{2555}) $ $a_1+a_2+a_3+a_4+..+a_{2555}=\left(\,\frac{1}{1-k}+\frac{k(1-2k)}{1-k}\right)(b_1+b_2+...+b_{2555}) $ $\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+..+a_{2555}}{b_1+b_2+...+b_{2555}}=\frac{1+k-2k^2}{1-k}=1+2k$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 23 มกราคม 2012 23:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#3
|
||||
|
||||
$k(b_1+b_3+...+b_{2555})+\frac{1}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554})=(1+2k)(b_1+b_2+...+b_{2555})$
$(1+k)(b_1+b_3+...+b_{2555})=(\frac{1}{k}-(1+2k))(b_2+b_4+...+b_{2554})$ $b_1+b_3+...+b_{2555}=(\frac{1-k-2k^2}{k(1+k)})(b_2+b_4+...+b_{2554})$ $b_1+b_3+...+b_{2555}=(\frac{1-2k}{k})(b_2+b_4+...+b_{2554})$ $k(b_1+b_3+...+b_{2555})=(1-2k)(b_2+b_4+...+b_{2554})$ $a_1+a_3+..+a_{2555}=(1-2k)(b_2+b_4+...+b_{2554})$ มึนแล้ว พรุ่งนี้ค่อยเข้ามาคิดต่อ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#4
|
|||
|
|||
ผมไม่แน่ใจนะครับว่าข้อนี้จะหาค่า k ออกมาได้
ใครช่วยหาค่า k หน่อยครับ 24 มกราคม 2012 08:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#5
|
|||
|
|||
เเสดงว่า $a_1=k(b_1)$ เพราะฉะนั้น $a_1+a_2+...a_{2555}\div b_1+b_2+b_3+...+b_{2555}=k$ใช้หรือเปล่าครับ
|
#6
|
||||
|
||||
#5 ดู $a_2$ ที่โจทย์ดีๆครับ
|
#7
|
||||
|
||||
หาช่วงของ k ได้ดังนี้ครับ
จาก $b_1+b_3+b_5...+b_{2555} = \dfrac{1-2k}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554})$ แทนค่า $b_1=b_3=b_5=...=b_{2555}=\dfrac{1-2k}{1273}$ $b_2=b_4=...=\dfrac{k}{1272}$ ส่วนค่า a ก็แปรตาม b อยู่แล้ว ในการแทนค่าครั้งนี้ก็ครอบคลุมว่าทุก k ยกเว้น 1, $-\frac{1}{2}$ ว่าสามารถทำให้เงื่อนไขเป็นจริงได้ กรณี $-\frac{1}{2}$ ถ้าแทนค่าอย่างอื่นก็ได้อยู่ จึงเหลือเพียง k = 1 ที่ไม่จริง จึงตอบดังนี้ครับ $k \in \mathbb{R}$ \ $\left\{1\,\right\} $
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 31 มกราคม 2012 16:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#9
|
|||
|
|||
ที่ยกเว้น 1ตัวเดียว ก็คงเป็นเพราะ
โจทย์กำหนด $b_2+b_4+b_6+...+b_{2554}=\frac{k}{1-k}(b_1+b_2+b_3+...+b_{2555})$ ซึ่ง$k=1$ไม่ได้ เพราะจะทำให้ส่วนเป็น $0$ มั๊ง ผมว่าคุณ#7เข้า ม.4 มหิดลได้แน่นอน 30 มกราคม 2012 09:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#10
|
||||
|
||||
เอามาจากข้างบน ยังไม่ได้เช็คความถูกต้องเลยครับ ลองทำดูก่อน
$\dfrac{1-k}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554})=b_1+b_2+b_3+...+b_{2555}$ $(\dfrac{1-k}{k}-1)(b_2+b_4+...+b_{2554})=b_1+b_3+b_5+...+b_{2555}$ $(\dfrac{1-2k}{k})(b_2+b_4+...+b_{2554})=b_1+b_3+b_5+...+b_{2555}$ ถูกแล้วครับ อ้างอิง:
ถ้า $k = -\frac{1}{2}$ จะทำให้ $b_1=b_3=...=b_{2555}=0$ ซึ่งไปทำให้อีกสมการส่วนเป็นศูนย์ อันนี้แค่เพียงต้องการให้ $b_1+b_3+...+b_{2555}$ เท่าเดิม จาก $k=-\frac{1}{2}$, $b_1+b_3+...+b_{2555}=0$ ซึ่งก็มีวิธีแทนค่าหลากหลายวิธีที่ไม่มี $b_i$ ใดๆเป็น 0 * #9 ผมไม่ได้สอบมหิดลครับ สอบ วมว.
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 31 มกราคม 2012 17:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#11
|
|||
|
|||
$k\in R/\left\{\right.1\left.\right\}$
ผมคิดว่าเครื่องหมายที่ถูกต้องควรเป็น \ (setminus)รึเปล่า |
#12
|
||||
|
||||
ในนั้นมันใส่ \ ไม่ได้มันจะเขียนเป็น latex ครับ น่าจะแก้ได้อยู่ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
|
|