โจทย์เกี่ยวกับจำนวนมาลบกัน

[tonklaZolo]

$S = \underbrace{111...111}_{2n} - \underbrace{77...77}_{n} $
จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ S เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

[banker]

เห็นๆ n = 1

ตัวอื่นเดี๋ยวค่อยหาวิธี

[Thgx0312555]

มี n = 1 จำนวนเดียว
วิธีทำ
เขียน S ให้อยู่ในรูปที่ใช้คำนวณง่ายๆก่อน แล้วก็แยกตัวประกอบ เดี๋ยวมาทำวิธีเต็ม

[artty60]

ให้$[10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1]=x$

$(10^{n}-6)x=k^2$

มี$n=1$ที่ทำให้$k$เป็นจำนวนเต็ม

[Thgx0312555]

วิธีของผมครับ

$S = \dfrac{10^{2n}-1}{9}-\dfrac{7}{9}(10^n-1)$

เนื่องจาก S เป็นกำลังสองสมบูรณ์
$9S = (10^{2n}-1)-7(10^n-1) = 10^{2n}-7(10^n)+6 = (10^n-1)(10^n-6)$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์

เนื่องจาก $gcd(10^n-1,10^n-6) = gcd(10^n-1,5) = 1$
ทั้ง $10^n-1, 10^n-6 $ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ให้ $10^n-6 = k^2, \exists k \in \mathbb{N} $

พบว่าจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $k^2 = (k+1)^2$

$(k+1)^2 \le 10^n-1 = k^2+5$
$k^2+2k+1 \le k^2+5$
$2k+1 \le 5$

$k \le 2$

$10^n-6 \le 2^2$
$n \le 1$

ไปเช็ค n = 1, พบว่าเป็นจริง จึงตอบ n = 1

[artty60]

อีกสักข้อนะครับ
ให้$Y=\left\{\,\right. m\in \mathbf{I+}\mid 10^mหาร2543!+2544!+2545!+2546!ลงตัว\left.\,\right\} $
จงหาค่า$max(Y)$

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

อีกสักข้อนะครับ
ให้$Y=\left\{\,\right. m\in \mathbf{I+}\mid 10^mหาร2543!+2544!+2545!+2546!ลงตัว\left.\,\right\} $
จงหาค่า$max(Y)$

ตอบ 634 ป่ะครับ

[artty60]

#7ถูกครับ