#1
|
|||
|
|||
โจทย์สอวน.
ให้$\frac{a}{b}=\frac{(100^3-1)(101^3-1)}{(101^3+1)(102^3+1)}$
โดยที่$a,b\in \mathbf{I+} $และ$\,\left(\,a,b\right.\left.\,\right) =1 $ จงหาค่าของ$a+b$ |
#2
|
||||
|
||||
Hint: ดูว่าก้อนด้านบน มี อะไรที่เหมือนกับก้อนด้านล่างบ้าง ดูได้จากเอกลักษณ์ $a^3+b^3 , a^3-b^3$
__________________
Fighting for Eng.CU
|
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จาก$\frac{a}{b}=\frac{(100^3-1)(101^3-1)}{(101^3+1)(102^3+1)}$ $=\frac{(100-1)(100^2+100+1)(101-1)(101^2+101+1)}{(101+1)(101^2-101+1)(102+1)(102^2-102+1)}$ เเละ $100^2+100+1=101^2-101+1,101^2+101+1=102^2-102+1$ $=\frac{99x100}{102x103}$ $=\frac{9900}{10506}$ $=\frac{1650}{1751}$ ดังนั้น 1650+1751=3401
__________________
"Végre nem butulok tovább" ("ในที่สุด ข้าพเจ้าก็ไม่เขลาลงอีกต่อไป") |
#4
|
||||
|
||||
ใครมีวิธีดีกว่านี้เสนอมาด้วยครับ
__________________
"Végre nem butulok tovább" ("ในที่สุด ข้าพเจ้าก็ไม่เขลาลงอีกต่อไป") |
#5
|
|||
|
|||
สำหรับมุ่งสู่สนามเตรียมใหญ่
กำหนดให้$A=111....111$ จำนวน$2n$ตัว
และ$B=222....222$ จำนวน$n$ตัว จงหาผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ข้างล่างนี้ $\sqrt{A-B} $ โดยที่$n$เป็นจำนวนคี่ |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{11- 2} = \sqrt{9} = 3 \ \ \ \ $ (สังเกต n = 1 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 1 ตัว) ถ้า n = 3 จะได้ $\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{111111- 222} = \sqrt{111(1001-2)} = \sqrt{111(9 \times 111)}= 333 \ \ \ \ $ (สังเกต n = 3 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 3 ตัว ) ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3 ถ้า n = 5 จะได้ $\sqrt{A-B} $ = $\sqrt{1111111111- 22222} = \sqrt{11111(100001-2)} = \sqrt{11111(9 \times 11111)}= 33333 \ \ \ \ $ (สังเกต n = 5 ผลลัพธ์จะมี 3 จำนวน 5 ตัว) ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3 ดังนั้น ผลต่างของผลรวมของเลขโดดหลักคี่กับผลรวมของเลขโดดหลักคู่ของจำนวนที่เป็นผลลัพธ์ = 3 เสมอ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#7
|
|||
|
|||
|
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
"Végre nem butulok tovább" ("ในที่สุด ข้าพเจ้าก็ไม่เขลาลงอีกต่อไป") |
#9
|
|||
|
|||
หรืออีกวิธี
$9A=999...999=(10^{2n}-1)............(1)$ $\frac{9}{2}B=99...99=(10^n-1)$ $9B=2(10^n-1)..............(2)$ $(1)-(2),9(A-B)=[(10^n)^2-2(10^n)+1]$ $9(A-B)=(10^n-1)^2$ $\sqrt{A-B}=\frac{10^n-1}{3}$ $333...333$จำนวน$n$ตัว ซึ่ง$\,n\,$เป็นเลขคี่ จำนวน3ตำแหน่งเลขคี่มีมากกว่าตำแหน่งเลขคู่อยู่1ตัว จึงตอบ$3$ครับ |
|
|