โจทย์พหุนามเรื่องการหา ส.ป.ส.ของตัวแปรอีกแล้วครับ

[g_boy]

ถ้าเป็น สป.ส.ของ x^89 ผมพอหาได้ครับ แต่เป็น x^88 นี่หายังไงครับ

[Puriwatt]

อธิบายยากพอสมควร
ให้พหุนามนี้เป็น $(x+a_1)(x+a_2)(x+a_3)...(x+a_n)$

1. สปส.ของ $x^{88}$ คือผลบวกของผลคูณของสปส.แต่ละคู่ = $S$
$S = (a_1a_2+a_1a_3+...+a_1a_n)+(a_2a_3+a_2a_4+...+a_2a_n)+...+(a_{n-1}a_n)$

2. กำหนดให้ $S_1 = (a_1+a_2+...+a_{90})$ และ $S_2 = (a_1^2+a_2^2+...+a_{90}^2)$

3. พบว่า $2S = (a_1S_1-a_1^2)+ (a_2S_1-a_2^2)+...+ (a_{90} S_1-a_{90}^2) = (a_1+a_2+...+a_{90})S_1-(a_1^2+ a_2^2+...+ a_{90}^2)$

จะได้ $2S = S_1^2-S_2$ --> $S = (S_1^2-S_2)/2$

[Thgx0312555]

อธิบายว่าทำไมเท่ากับผลคูณทีละสองตัวครับ
เขียนการกระจายในรูปนี้ (สมบัติการแจกแจงหลายหลายรอบ)
$(x+1)(x+2)(x+3) = x\cdot x\cdot x + x \cdot x \cdot 3 + x\cdot 2\cdot x + x \cdot 2 \cdot 3+ 1\cdot x\cdot x + 1 \cdot x \cdot 3+ 1\cdot 2\cdot x + 1 \cdot 2 \cdot 3$

ถ้ากระจาย $(x+a_1)(x+a_2)..(x+a_n)$ ในรูปนี้

พจน์ที่มีดีกรี $x^{n-2}$ จะเกิดขึ้นเมื่อมี $a_i$ สองตัว (ดูตัวอย่าง)
rei
พจน์ที่มีดีกรี $x^1$ ใน $(x+1)(x+2)(x+3)$ ได้แก่ $ x \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot x \cdot 3+ 1\cdot 2\cdot x$

ดังนั้น สปส ของ $x^{n-2}$ เท่ากับผลบวกของผลคูณทีละสองตัว เช่นถ้า $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$ จะได้เป็น
$ab+ac+ad+bc+bd+cd$

[g_boy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

อธิบายว่าทำไมเท่ากับผลคูณทีละสองตัวครับ
เขียนการกระจายในรูปนี้ (สมบัติการแจกแจงหลายหลายรอบ)
$(x+1)(x+2)(x+3) = x\cdot x\cdot x + x \cdot x \cdot 3 + x\cdot 2\cdot x + x \cdot 2 \cdot 3+ 1\cdot x\cdot x + 1 \cdot x \cdot 3+ 1\cdot 2\cdot x + 1 \cdot 2 \cdot 3$

ถ้ากระจาย $(x+a_1)(x+a_2)..(x+a_n)$ ในรูปนี้

พจน์ที่มีดีกรี $x^{n-2}$ จะเกิดขึ้นเมื่อมี $a_i$ สองตัว (ดูตัวอย่าง)
rei
พจน์ที่มีดีกรี $x^1$ ใน $(x+1)(x+2)(x+3)$ ได้แก่ $ x \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot x \cdot 3+ 1\cdot 2\cdot x$

ดังนั้น สปส ของ $x^{n-2}$ เท่ากับผลบวกของผลคูณทีละสองตัว เช่นถ้า $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$ จะได้เป็น
$ab+ac+ad+bc+bd+cd$

ขอบพระคุณอย่างสูงครับ

[Puriwatt]

วิธีนี้จะช่วยให้คิดเลขได้ง่ายขึ้นครับ

$S_1 = (1+2-3+4+5-6+...+88+89-90) = 1,305$

$S_2 = (1^2+2^2+3^2+...+90^2) = 90(91)(181)/6 = 247,065$

$S = (S_1^2-S_2)/2 =(1,703,025-247,065) = 1,455,960/2 = 727,980$