ทฤษฎีจำนวน เรื่อง ฟังก์ชันเลขคณิต

[pont494]

รบกวนทุกท่านเข้ามาแบ่งปันวิธีคิด วิธีทำด้วยครับ

1.ให้ $n\in \mathbb{N} $ และ $\sigma(n) = n+k$ เมื่อ $k\mid n$ และ $1\leqslant k < n$
จงพิสูจน์ว่า $k=1$ นั่นคือ $n$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ

2.ให้ $m,n \in \mathbb{N} $ โดยที่ $m\mid n$ จงพิสูจน์ว่่า $\frac{\sigma (n)}{n} \geqslant \frac{\sigma (m)}{m} $

3.ให้ $n \in \mathbb{N} $ จงแสดงว่าเซตคำตอบของสมการ $\phi (x)=n$ เป็นเซตจำกัด

4.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ $\phi (x)=n$
4.1)ไม่มีคำตอบ
4.2)มี 2 คำตอบ
4.3)มี 3 คำตอบ
4.4)มี 4 คำตอบ

5.จากข้อ 4. ผู้อ่านคงตอบได้ว่า 14 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\phi (x)=14$ ไม่มีคำตอบ (แต่ผมตอบไม่ได้ครับ)
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดและ $n>14$ ที่ทำให้ $\phi (x)=n$ ไม่มีคำตอบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

5.จากข้อ 4. ผู้อ่านคงตอบได้ว่า 14 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\phi (x)=14$ ไม่มีคำตอบ (แต่ผมตอบไม่ได้ครับ)

ไม่จริงนี่ครับ $n=3$ น้อยที่สุด ทำไม?

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่จริงนี่ครับ $n=3$ น้อยที่สุด ทำไม?

ตอนแรกผมเองก็คิดว่า 3 จากการลองแทนเลขต่างๆดู กับลองแทนเลขในทฤษฎีบท
ถ้า $n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}?p_k^{a_k}$ เป็นการเขียน $n$ ในรูปแบบบัญญัติ แล้ว $\phi (n)=n\prod_{i = 1}^{k}(1-\frac{1}{p_i}) $
แต่ผมเองก็ไม่แน่ใจ เพราะ เห็นในหนังสือเขียนอย่างนั้น สรุปในหนังสือผิดใช่ไหมครับ ขอวิธีทำด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

ตอนแรกผมเองก็คิดว่า 3 จากการลองแทนเลขต่างๆดู กับลองแทนเลขในทฤษฎีบท
ถ้า $n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}?p_k^{a_k}$ เป็นการเขียน $n$ ในรูปแบบบัญญัติ แล้ว $\phi (n)=n\prod_{i = 1}^{k}(1-\frac{1}{p_i}) $
แต่ผมเองก็ไม่แน่ใจ เพราะ เห็นในหนังสือเขียนอย่างนั้น สรุปในหนังสือผิดใช่ไหมครับ ขอวิธีทำด้วยครับ

ถ้าให้ผมเดาหนังสือคงหมายถึงจำนวนเต็มบวกคู่ที่น้อยที่สุดมากกว่าครับ

มีสมบัติของ $\phi$ อยู่ข้อหนึ่งที่ทำให้โจทย์ข้อนี้ง่ายมากก็คือ ถ้า $n\neq 1,2$ แล้ว $\phi(n)$ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ

ดังนั้น $n=3$ จะน้อยสุดที่ทำให้สมการ $\phi(x)=n$ ไม่มีคำตอบ

ทีนี้ก็คงต้องหาทางพิสูจน์สมบัติที่ผมกล่าวถึง

[pont494]

เข้าใจแล้วครับ