โจทย์ทาสีลูกเต๋า...เตรียมอุดมศึกษา...ช่วยหน่อยครับ

[HIGG BOZON]

มองภาพไม่ออกอีกแล้วครับ....เซียน combi ช่วยผมอีกทีครับ
มีสี 7 สี ต้องการทาสีบนด้านของลูกบาศก์ โดยให้สอดคล้องเงื่อนไขทั้ง 3 ข้อต่อไปนี้
1. มีอยู่ 1 ด้านที่ไม่ต้องทาสี
2. แต่ละด้านที่ทาสีจะทาสีเพียงสีเดียวเท่านั้น
3. มีเพียง 2 ด้านเท่านั้นที่ทาสีเดียวกัน
แล้วจะมีลูกบาศก์ที่ทาสีตามเงื่อนไขดังกล่าวแตกต่างกันกี่แบบ

งงมากเลยครับ......

[gon]

โจทย์สมาคม 2532 ข้อนี้เคยมีคุยกันแล้วครับ.

http://www.mathcenter.net/samakom/2532/2532p04.shtml

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=19309

ผมคิดแบบนี้

My_solution

ขั้นที่ 1. เอาด้านที่ไม่ทาสี วางลงบนพื้น

ขั้นที่ 2. เลือกมา 1 สีจาก 7 สีว่าจะใช้สีใดทาสีเดียวกัน ได้ 7 วิธี

กรณีที่ 2.1 สีที่ทาเหมือนกัน อยู่ตรงข้ามกัน
ขั้นที่ 2.1.1 เลือกมา 1 สีที่จะทาด้านบน ได้ 6 วิธี
ขั้นที่ 2.1.2 นำสีที่ทาเหมือนกัน ไปทาตรงข้ามกัน คู่ใดก็ได้ ได้ 1 วิธี สมมติเป็นสี A
ขั้นที่ 2.1.3 เลือกมาอีก 2 สี ได้ $\binom{5}{2} = 10$ วิธี สมมติได้ B, C
ขั้นที่ 2.1.4 ดูจากข้างบน จะเห็นเป็นวงกลม A, B, A, C ซึ่งสลับได้ 1 วิธี

กรณีนี้มี $7 \times 6 \times 1 \times 10 \times 1 = 420$ วิธี

กรณีที่ 2.2 สีที่ทาเหมือนกัน อยู่ติดกันด้านข้าง
ขั้นที่ 2.2.1 เลือกมา 1 สีที่จะทาด้านบน ได้ 6 วิธี
ขั้นที่ 2.2.2 นำสีที่ทาเหมือนกัน ไปทาติดกันด้านข้างตรงไหนก็ได้ ได้ 1 วิธี สมมติเป็นสี A
ขั้นที่ 2.2.3 เลือกมาอีก 2 สี ได้ $\binom{5}{2} = 10$ วิธี สมมติได้ B, C
ขั้นที่ 2.1.4 ดูจากข้างบน จะเห็นเป็นวงกลม A, A, B, C ซึ่งสลับได้ 2 วิธี

กรณีนี้มี $7 \times 6 \times 1 \times 10 \times 2 = 840$ วิธี

กรณีที่ 2.3 สีที่ทาเหมือนกัน อยู่บนกับด้านข้าง
ขั้นที่ 2.3.1 นำสีที่ทาเหมือนกัน ไปทาด้านบนกับด้านข้าง 1 ด้าน ได้ 1 วิธี สมมติเป็นสี A
ขั้นที่ 2.3.2 เลือกมาอีก 3 สี เพื่อทาด้านข้างได้ $\binom{6}{3} = 20$ วิธี สมมติได้ B, C, D
ขั้นที่ 2.3.3 ดูจากข้างบน จะเห็นเป็นวงกลม A, B, C, D ซึ่งสลับได้ 3! = 6 วิธี

กรณีนี้มี $7 \times 1 \times 20 \times 6 = 840 $ วิธี

รวมทั้งหมด 2100 วิธี