#1
|
||||
|
||||
FE
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(x)f(y)=f(x+y)+xy , \ \forall x,y \in \mathbb{R}$ Sol $P(x,y) : \ f(x)f(y)=f(x+y)+xy$ $P(0,0) : \ f(0)^2=f(0)$ Case $f(0)=1$ $\\P(x,-x) : \ f(x)f(-x)=1-x^2$ ผมสรุปว่า $f(x)\equiv 1+x,1-x$ ได้เลยหรือปล่าวครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 05 มกราคม 2015 20:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#2
|
|||
|
|||
ยังไม่ได้ครับ ต้องแสดงว่าไม่เกิดกรณี $f(a)=1-a,f(b)=1+b$ สำหรับบาง $a\neq b$ เสียก่อนครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ถ้ามีแค่ $f(x)f(-x)=1-x^2$ ไม่น่าจะสรุปได้นะครับ
|
#4
|
||||
|
||||
เราต้องพิสูจน์ก่อนครับว่ากรณี $f(0)=0$ ไม่มีคำตอบ จึงตกมาที่ $f(0)=1$ เท่านั้น
หลังจากนั้นลองพิจารณาให้หลากหลายตัวแปรดูครับ จะมีพจน์ที่สามารถคิดได้สองแบบ แล้วเอาสองแบบนั้นจับมาเท่ากัน คำตอบจะอยู่ในรูปของ $f(x)=1+cx$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่ ต่อจากนี้ก็คงไม่ยากแล้วครับ แต่ก็แล้วแต่นะครับ อาจจะมีวิธีคิดหลายวิธี ที่ผมเสนอมาเป็นหนึ่งในวิธีแก้ครับ 05 มกราคม 2015 23:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Napper |
#5
|
||||
|
||||
รบกวนอาจารย์หน่อยครับผมมึน
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองทำต่อจากที่ทำไว้นะ พิสูจน์ว่า 1. $f(1)f(-1)=0$ 2. ถ้า $f(1)=0$ แทนค่าด้วยค่าที่เหมาะสมจะได้ $f(x)=1-x$ 3. ถ้า $f(-1)=0$ แทนค่าด้วยค่าที่เหมาะสมจะได้ $f(x)=1+x$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#8
|
||||
|
||||
พิจารณาพจน์ $f(x)f(y)f(z)$ ดูครับ เมื่อ $x,y,z$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ (เพราะทราบแล้วว่า $f(0)=1$)
เราสามารถจับคู่ค่อยๆกระจายได้สองแบบ ลองคูณ $f(x)f(z)$ ก่อนครับ $\begin{array}{rcl} f(x)f(y)f(z) &=& f(y) \cdot \big[ f(x+z)+xz \big]\\ &=& f(y)f(x+z)+xz \cdot f(y)\\ &=& f(y+(x+z))+y(x+z)+xz \cdot f(y)\\ &=& f(x+y+z)+xy+yz+zx \cdot f(y) \end{array}$ ถ้าเราเปลี่ยนเป็นคูณ $f(y)f(z)$ ก่อน ก็จะได้อีกรูปหนึ่งซึ่งคล้ายๆกัน แล้วจับมาเท่ากัน จากนั้นอาศัยจากที่ $x,y,z$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ จัดรูป นำไปหาร ฯลฯ จะสามารถแยกตัวแปรได้ครับ |
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
คารวะครับ คารวะ |
|
|