|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์เชิงซ้อนจากPSU 58
พอดีเห็นโจทย์มาจากเพจคณิตศาสตร์ม.ปลาย ไม่แน่ใจว่าจะทำถูกไหม เลยเอามาลงให้ยอดฝีมือในMCช่วยดู ช่วยแนะนำทางสว่างด้วยครับ
9.ให้ $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ $\left|\,z_1+z_2\right| =1$ และ $\left|\,z^2_1+z^2_2\right| =1$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\left|\,z^3_1+z^3_2\right|$ ขอแก้โจทย์เป็น $\left|\,z^2_1+z^2_2\right| =19$ 10.ให้ $z=\cos \frac{2\pi}{727} +i \sin \frac{2\pi}{727}$ และส่วนจินตภาพของ $\prod_{k = 8}^{13}\left(\,1+z^{3^{k-1}}+z^{2.3^{k-1}}\right) $ เท่ากับ $\sin \theta$ สำหรับจำนวนจริง $\theta \in \left[\,-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] $ บางค่า จงหาค่าของ $\theta$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 17 มกราคม 2015 13:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#2
|
||||
|
||||
10.$$ \prod_{k=8}^{13} \frac{z^{3^{k}}-1}{z^{3^{k-1}}-1}$$
$$=\frac{z^{3^{13}}-1}{z^{3^{7}}-1}$$ $$=\frac{cis(\frac{2×3^{13}×\pi}{727})-1}{cis(\frac{2×3^7×\pi}{727})-1}$$ เพราะว่า $3^{6}\equiv 2mod(727)$ 1.$2×3×3^6 \equiv 12 mod(727)$ ตัวส่วน 2.$3^{12}×3×2\equiv 24 mod(727)$ ตัวเศษ $$=\frac{cis(\frac{2×3^{13}×\pi}{727})-1}{cis(\frac{2×3^7×\pi}{727})-1}$$ $$\frac{cis(2x)-1}{cis(x)-1}$$ $$=1+cis(x)$$ ส่วนจินตภาพคือ $sin(\frac{12\pi}{727})$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 14 มกราคม 2015 13:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#3
|
||||
|
||||
ช่วยตรวจวิธีผมด้วยนะครับ ค่อนข้างมึน
ผมว่าข้อสอบเอนท์ตรง มอ.ปีนี้ ยากขึ้นนะครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#4
|
|||
|
|||
โจทย์สองข้อนี้ไม่ใช่ข้อสอบเอนท์ตรงมอ. ไม่ว่าจะปีไหนก็ตามครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
เป็นข้อสอบ อัจฉริยภาพคณิตศาสตร์ ของภาคใต้ปีนี้
ข้อแรกใช้ อสมการสามเหลี่ยมได้ไหมครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#6
|
||||
|
||||
ผมสอบนะปีนี้ แต่จำข้อสอบไม่ได้เลย 55
ข้อนี้ก็สวยครับ $$\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}}\sqrt{\frac{1}{n^2}-x^2}\,dx$$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
สังเกตว่าถ้า $z_1=r(\cos\alpha+i\sin\alpha),z_2=s(\cos\beta+i\sin\beta)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องทั้งสองเงื่อนไขและทำให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่ำสุด จะได้ว่า $w_1=r,w_2=s(\cos(\beta-\alpha)+i\sin(\beta-\alpha))$ ก็จะมีสมบัติเดียวกัน จึงเพียงพอที่จะสมมติว่า $z_1=r,z_2=s(\cos\theta+i\sin\theta)$ จากเงื่อนไข $|z_1+z_2|=1$ จะได้ว่า $1=r^2+s^2+2rs\cos\theta$ ยกกำลังสองสมการนี้ทั้งสองข้างจะได้ $1=r^4+s^4+4r^2s^2+2r^2s^2\cos 2\theta+4rs(r^2+s^2)\cos\theta$ จากเงื่อนไข $|z_1^2+z_2^2|=1$ จะได้ว่า $1= r^4+s^4+2r^2s^2\cos 2\theta$ จับสองสมการสุดท้ายมาลบกันจะได้ว่า $\cos\theta = -\dfrac{rs}{r^2+s^2}$ แทนค่าในสมการแรกจะได้ $r^2+s^2=r^4+s^4$ ดังนั้นจะได้ว่า $|z_1^3+z_2^3|^2 = |z_1^2-z_1z_2+z_2^2|$ $=r^4+s^4+2r^2s^2\cos 2\theta +r^2s^2-2rs(r^2+s^2)\cos\theta$ $=1+r^2s^2+2r^2s^2$ $=1+3r^2s^2$ $\geq 1$ สมการเกิดเมื่อ $r=0$ หรือ $s=0$ เช่น $z_1=0,z_2=1$ ของแถม เนื่องจาก $(r^2+s^2)^2 \leq 2(r^4+s^4)=2(r^2+s^2)$ ดังนั้น $r^2+s^2\leq 2$ จึงได้ว่า $2rs\leq r^2+s^2\leq 2$ นั่นคือ $rs\leq 1$ ดังนั้น $|z_1^3+z_2^3|^2 = 1+3r^2s^2\leq 4$ จึงได้ว่า $|z_1^3+z_2^3|\leq 2$ สมการเกิดเมื่อ $r=s=1$ และ $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ นั่นคือ $z_1=1,z_2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
||||
|
||||
ลองทำตามคุณกิตติดูคือใช้อสมการสามเหลี่ยม แต่ใช้ในรูปนี้ $|x-y| \ge ||x|-|y||$ ครับ
วิธีทำแบบย่อเป็นดังนี้ ให้ $A=x^2+2xy+y^2$, $B=x^2+y^2$, $|A|=|B|=1$ พิจารณา $|x^3+y^3|=|x^2-xy+y^2|=|\dfrac{3ฺฺB-A}{2}| \ge \dfrac{|3|B|-|A||}{2} = 1$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 16 มกราคม 2015 18:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 เหตุผล: แก้ให้อ่านสบายตาขึ้นครับ ^^ |
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผมคงจะจำวิธีนี้ไปอีกนานแสนนาน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
||||
|
||||
ผมต้องกราบขอโทษคุณNooonuiiและคุณThgx0312555เป็นอย่างมากเลยครับ ผมพิมพ์เป็นLATEXแล้วไม่ได้ตรวจเช็คให้รอบคอบ
เลยทำให้คุณNooonuii เสียเวลา เสียพลังงาน และคงเสียความรู้สึก ที่โจทย์ผิด ด้วยความสะเพร่าในการพิมพ์และตรวจตรา ที่แนะแนวทางมานั้นของทั้งสองท่านเป็นประโยชน์กับผมเป็นอย่างมาก ผมขอเวลาเขียนทดในกระดาษแล้วจะนำมาให้ช่วยพิจารณากันอีกที
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 17 มกราคม 2015 13:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#11
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ สำหรับโจทย์ และวิธีทำดีๆ
|
|
|