|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#136
|
|||
|
|||
ข้อต่อไปครับ (หลังจากร้างมาเกือบ 7 ปี)
35. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^3+4n^2+8n+9}{n^4+12n^3+44n^2+48n} }$ หาค่าไม่ได้ 17 เมษายน 2015 17:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut |
#137
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$b_n=\dfrac{1}{n}$ จะได้ว่า $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1$ ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^3+4n^2+8n+9}{n^4+12n^3+44n^2+48n} }$ ลู่ออก โดย Limit Comparison Test
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#138
|
|||
|
|||
36. จงหาผลบวกของอนุกรม
$\dfrac{1}{3!-2!-1!}+\dfrac{2}{4!-3!-2!}+\dfrac{3}{5!-4!-3!}+\cdots$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#139
|
||||
|
||||
$3/4$ รึเปล่าครับ
|
#140
|
|||
|
|||
รู้สึก Fail อย่างรุนแรงกับโจทย์ที่ออก เพราะกะจะให้เป็นโจทย์ telescopic แต่นึกไม่ถึงว่า nooonuii จะมีสูตร check ส่วนข้อ 36 ไม่ยาก วิธีทำคร่าวๆ คือ
$\dfrac{n}{(n+2)!-(n+1)!-n!}=\dfrac{n}{n!(n^2+2n)}=\dfrac{1}{(n+2)n!}=\dfrac{n+1}{(n+2)!}=\dfrac{n+2}{(n+2)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}$ ที่เหลือก็ telescopic ง่ายๆ ซึ่งจะได้ว่าอนุกรมที่ต้องการมีค่าเท่ากับ $\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+...=\dfrac{1}{2}$ 18 เมษายน 2015 16:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut |
#141
|
||||
|
||||
#140 โอ๊ะ ลืมเลย มัวไปใส่ถั่วงอก (แถมผิดอีกนะ 5555)
|
#142
|
|||
|
|||
คราวนี้จะไม่ปล่อยให้ nooonuii ใช้สูตรอีกต่อไป
37. จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}}$ (ปรับมาจากข้อ 35. ให้มันลู่เข้า) |
#143
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะได้ว่า $a_n-a_{n+1}=\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}$ ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{12n^2+44n+48}{n^4+12n^3+44n^2+48n}}=a_1=\dfrac{413}{120}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#144
|
|||
|
|||
38. จงหาผลบวกของ $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{3}{2!}+\dfrac{5}{3!}+\dfrac{7}{4!}+\cdots$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#145
|
||||
|
||||
$1+e$ ป่าวครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#146
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
และ $b_n=\dfrac{1}{n!}$ จะได้ว่า $a_n - b_n=\dfrac{2n-1}{n!}$ ซึ่งก็คือพจน์ที่ $n$ ของอนุกรมที่ต้องการ แต่ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n =2\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}}=2e$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n =\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}}=e-1$ ดังนั้นอนุกรมที่ต้องการมีค่าเท่ากับ $2e-(e-1)=e+1$ ซึ่งคุณจูกัดเหลียงตอบเอาไว้ถูกครับ ส่วนใครจะได้ตั้งคำถามขอให้เป็นดุลยพินิจของคุณ nooonuii ก็แล้วกันครับ |
#147
|
|||
|
|||
ใครก็ได้ครับ เชิญตั้งได้เลย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#148
|
||||
|
||||
ขอลองเล่นลำดับบ้างแล้วกันนะครับ
จงพิจารณาว่าอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก $$\sum_{n = 1}^{\infty} [\sqrt[n]{2} -1]$$ ปล. $[x]$ คือวงเล็บเฉยๆครับ ไม่มีอะไรแอบแฝง
__________________
I'm Back 20 เมษายน 2015 18:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#149
|
|||
|
|||
สัญลักษณ์ $\left[x\,\right]$ นี่คืออะไรครับ
|
#150
|
|||
|
|||
คิดมือไม่ออก แต่ใช้ wolfram alpha ทำ integral test ให้บวกกับหาลิมิตด้วยมือเอง จะพบว่าลู่ออก โดยจากการให้ wolfram alpha อินทิเกรตให้ จะได้ว่า
$$\int(\sqrt[x]{2}-1) \,dx =x (\sqrt[x]{2}-1) -\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right) +C$$ เมื่อ $\rm{Ei}(x)$ คือ Exponential Integral Function จากกราฟของ $\rm{Ei} (x)$ เราจะพบว่า $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\rm{Ei}(x)=-\infty}$ ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right)\,\right) =\infty}$ นั่นคือพจน์ขวาของอินทิกรัลลู่ออก และจาก $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}x (\sqrt[x]{2}-1)=0}$ ดังนั้น $x (\sqrt[x]{2}-1) -\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right)$ เป็นลำดับลู่ออก นั่นคือ $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} [\sqrt[n]{2} -1]}$ ลู่ออกโดย integral test (ผมใช้อาวุธหนักเกินจนแบกไม่ขึ้น ) 21 เมษายน 2015 15:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | warut | งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 28 เมษายน 2007 00:28 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|