|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Bellman-Gronwall Inequality
มีอสมการที่เกี่ยวกับ Calculus มานำเสนอครับผม มีชื่อว่าอสมการ Bellman-Gronwall มีเนื้อความว่าดังนี้
Assume $x(t) > 0 $ show that the implicit inequality in $\phi$ \[ \phi (t) \leq \psi (t)+ \int_a^t x(s)\phi (s) ds \] implies the explicit inequality \[ \phi (t) \leq \psi (t) + \int_a^tx(s)\psi (s)exp \left(\int_s^tx(\tau ) d\tau \right) ds\] Hint : Let $r(t) = {\displaystyle \int_a^t x(s)\phi (s)ds }$ and show that $\dot{r}(t) -x(t)r(t) \leq x(t)\psi (t)$
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#2
|
|||
|
|||
Let $f$ solve the equation $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$. One can compute the solution, by differentiating the integral equation, to get $f(t)=\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+\psi(a)\Big)$, where $\gamma(t)=\exp(-\int_a^tx(s)\,ds)$. This solution is valid whenever $\psi$ is differentiable. Integrating by parts, however, it follows that
\[ \frac{1}{\gamma(t)}\Big(\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+\psi(a)\Big)=\psi(t) +\int_a^t\psi(s)x(s)\exp\Big(\int_s^tx(\tau)\,d\tau\Big). \] Thus $f(t)=\psi(t) +\int_a^t\psi(s)x(s)\exp(\int_s^tx(\tau)\,d\tau)$ is the solution for arbitrary $\psi$. Now we have $\phi(t)\leq\psi(t)+\int_a^tx(s)\phi(s)\,ds$ and $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$. Setting $u(t)=\int_a^tx(s)(\phi(s)-f(s))\,ds$, we see that \[ u(a)=0,\qquad u'(t)\leq x(t)u(t). \] In view of problem 75 in Calculus Marathons (2), we obtain $u(t)\leq0$ for all $t\geq a$. Thus $\phi(t)-f(t)=u'(t)/x(t)\leq0$ as well, therefore $\phi(t)\leq f(t)$. This proves the required estimate. 03 พฤษภาคม 2007 13:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk เหตุผล: พิมพ์ตกไปสองจุด |
#3
|
||||
|
||||
วิธีของ อ. Punk บอกตรงๆว่าไม่เข้าใจครับ แต่ทำให้ผมทราบว่า มีวิธีอื่น อีก สุดยอดครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#4
|
|||
|
|||
วิธีทำที่แสดงข้างบนผมอธิบายแบบคร่าวๆครับ เพราะอยากให้อ่านแล้วลองคิำดเองในกระดาษทด แต่ไม่เป็นไรครับผมจะอธิบายแบบละเิอียดในแต่ละจุดที่สำคัญๆ ดังนี้ครับ
1. แก้ Integral equation: $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$. ตอนแรกสมมติว่า $\psi$ หาอนุพันธ์ไ้ด้ จากสมการหาอนุพันธ์จะได้สมการที่สมมูลคือ \[ f'(t)=\psi'(t)+x(t)f(t) \] ตรงนี้ผมใช้ทฤษฎ๊บทหลักมูลในแคลคูลัส คูณตลอดด้วย $\gamma(t):=\exp(-\int_a^tx(s)\,ds)$ พร้อมกับจัดเทอมได้ \[ (f(t)\gamma(t))'=\psi'(t)\gamma(t) \] ซึ่งจากตรงนี้เราได้ทันทีว่า $f(t)\gamma(t)=\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+f(a)\gamma(a)$ กล่่าวคือ $f(t)=\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+\psi(a)\Big)$ 2. สูตร $f(t)$ ข้างบนเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของ $\psi$ ซึ่งขจัดออกได้โดยใช้เทคนิค integration by parts ดังนี้ \[ \int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds =\psi(s)\gamma(s)\Big|_{s=a}^{s=t}-\int_a^t\psi(s)\gamma'(s)\,ds =\psi(t)\gamma(t)-\psi(a)\gamma(a)+\int_a^t\psi(s)x(s)\gamma(s)\,ds \] เมื่อแทนในสูตรเดิมของ $f(t)$ จะได้ \[ f(t)=\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\psi(t)\gamma(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\gamma(s)\,ds\Big) =\gamma(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\frac{\gamma(s)}{\gamma(t)}\,ds \] จากนั้นสังเกตุว่า $\gamma(s)/\gamma(t)=\exp(\int_a^tx(\tau)\,d\tau-\int_a^sx(\tau)\,d\tau)= \exp(\int_s^tx(\tau)\,d\tau)$ ก็จะได้สูตรของ $f$ ที่ไม่ขึ้นกับอนุพันธ์ของ $\psi$ คือ \[ f(t)=\psi(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\exp\Big(\int_s^tx(\tau)\,d\tau\Big) \] 3. กลับมาที่ปัญหาเรื่มต้นครับ เงื่อนไขของฟังก์ชัน $\phi$ คือสมการ $\phi(t)\leq\psi(t)+\int_a^tx(s)\phi(s)\,ds$ เนื่องจาก $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$ เมื่อจับสองสมการลบกันจะได้ \[ \phi(t)-f(t)\leq\int_a^tx(s)\big(\phi(s)-f(s)\big)\,ds \] ให้ $u(t)=\int_a^tx(s)\big(\phi(s)-f(s)\big)\,ds$ (เทอมขวามือของสมการข้างบน) โดยทบหลักมูลในแคลคูลัสเราได้ว่า $u'(t)=x(t)\big(\phi(t)-f(t)\big)$ นั่นคือ $\phi(t)-f(t)=u'(t)/x(t)$ เพราะฉะนั้น \[ \frac{u'(t)}{x(t)}\leq u(t)\Longrightarrow u'(t)\leq x(t)u(t)\qquad(\because x(t)>0) \] เห็นชัดว่า $u(a)=0$ 4. จาก $u'(t)\leq x(t)u(t)$, $u(a)=0$, $x(t)>0$ และ ปัญหาที่ 75 ใน Calculus Marathon (2) เราได้ว่า $u(t)\leq0$ ทุก $t\geq a$ ดังนั้น $u'(t)\leq x(t)u(t)\leq0$ ด้วย แต่ $u'(t)=x(t)\big(\phi(t)-f(t)\big)$ เพราะฉะนั้น $\phi(t)\leq f(t)$ เมื่อ $t\geq a$ นั่นคือ \[ \phi(t)\leq\psi(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\exp\Big(\int_s^tx(\tau)\,d\tau\Big)\,ds \] ตามต้องการครับ หมายเหตุ หัวใจสำคัญของ Gronwall-type inequality รวมถึงคำถามข้อนี้ด้วย คือ ปัญหาที่ 75 ใน Calculus Marathon (2) ครับ ที่เหลือคือแก้สมการ ODE และใช้ทบหลักมูลในแคลคูลัส 04 พฤษภาคม 2007 18:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
A Problem of Inequality | Char Aznable | อสมการ | 11 | 18 เมษายน 2007 05:43 |
โจทย์ Inequality | devilzoa | อสมการ | 18 | 09 มีนาคม 2007 05:35 |
My Inequality Problem | Char Aznable | อสมการ | 3 | 08 มีนาคม 2007 19:16 |
Inequality | devil jr. | อสมการ | 4 | 07 กรกฎาคม 2005 08:22 |
An inequality | sbd | อสมการ | 2 | 16 มิถุนายน 2003 11:41 |
|
|