|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
TMO 15 Discussion
Day 1
1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$ ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ และ $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$. (ก) จงแสดงว่า $B, C, P, Q$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน (ข) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน 2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $f(x+f(y)) = f(x) + y^2$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$. 3. แม่หญิงการะเกดแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกข้อมูลลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,2,4,8,16$ และ $32$ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าเมืองนครราชสีมาเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือผลบวกความจุดแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด 4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ $$\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}$$ 5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $5^5$ ลงตัว Day 2 6. ให้ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $2x^2 = 3y^3 + 4z^4$. (ก) จงแสดงว่าถ้า $(x,y,z)\in A$ แล้ว $x,y,z$ หารด้วย $6$ ลงตัว (ข) จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์ 7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,61\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$ 8. สลาก $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากทุกใบมีค่ามากกว่า $2330$ แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลาก $n$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $1165$ จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ 9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$ ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$ ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$ จงแสดงว่า $AD=AQ$ 10. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงแสดงว่าถ้าฟังก์ชัน $f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ สอดคล้องกับ $af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $y>2018$ แล้วจะมีฟังก์ชัน $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + h(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ 07 พฤษภาคม 2018 16:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut |
#2
|
||||
|
||||
ดูซอฟท์ลงมากจริงๆครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#3
|
|||
|
|||
วันที่สองมาแล้วนะครับ เชิญทำได้ตามสบายเลยครับ
|
#4
|
|||
|
|||
ข้อ 6,
(ก) ชัดเจนว่า $2\mid y$ ทำให้ได้ว่า $y=2k$ สำหรับ $k\in \mathbb{Z}$ ทำไปเรื่อยๆ จะได้ $2\mid x$ นั่นคือ $x=2l$ , $l\in \mathbb{Z}$ และ $2\mid z$ จะได้ $z=2m$ , $m\in \mathbb{Z} $ พิจารณา $2x^2=3y^3+4z^4$ จะได้ $8l^2=24k^3+64m^4$ $\Rightarrow$ $l^2=3k^3+8m^4$ พิจารณาทั้งสองฝั่งในมอดุโล 3 จะได้ $l^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ แต่ $8m^4+3k^3 \equiv 0,2 \pmod{3}$ ทำให้สรุปได้ว่า $l^2 \equiv 8m^4+3k^3 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 3\mid l \Rightarrow 6\mid x$ แทนค่าตัวแปรไปเรื่อยๆ จะสรุปได้ว่า $6\mid y$ และ $6\mid z$ ตามต้องการ (ข) แทนค่า $x=54\cdot 6^6\cdot n^6$ $y=6^5\cdot n^4$ $z=6^4\cdot n^3$ จะได้ว่าสมการเป็นจริงทุก $n\in \mathbb{Z} $ จึงได้ $(x,y,z)$ มีไม่จำกัดและ A เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ |
#5
|
|||
|
|||
ข้อ6. โจทย์เขาบอกว่าสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็มครับ
- - ข้อข.) แทน$x=0 ,y=6(-2k^4), z=6(k^3)$ ก็จะได้เช่นเดียวกัน |
#6
|
||||
|
||||
เอาไปทำเล่นสนุกๆ ครับ เผื่อมีคนบอกว่าวันแรกยังไม่ยากพอ
Day 1 Hell's Edition 1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$ ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ , $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$ และ $PC$ ตัด $BQ$ ที่จุด $X$. (ก) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน (ข) จงแสดงว่า วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $PQX$ สัมผัสกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ 2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $$f(x+f(y)) = f(x) + y^{2.018}$$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $y>0$ . 3. แม่หญิงกาลกิณีแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกวิดิโอลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,\sqrt[3]{2} ,\sqrt[3]{2^2},2,\sqrt[3]{2^4} $ และ $\sqrt[3]{2^5} $ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าของวิดิโอเพื่อเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือผลบวกความจุแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด 4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ $$(1+\frac{a^3}{b^3})(1+\frac{b^3}{c^3})(1+\frac{c^3}{a^3})$$ 5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $2018$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $2018^{2018}$ ลงตัว ไม่ได้เรียงยาก-ง่ายนะครับ ผมกับเพื่อนผม(จิรายุส)เป็นคนดัดแปลงโจทย์พวกนี้ครับๆ
__________________
I'm Back 10 พฤษภาคม 2018 07:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#7
|
|||
|
|||
แม่หญิงกาลกิณี 555555
(ปล.ถ้าพิสูจน์ว่าชุดที่ไม่เหมือนกันมันบวกกันไม่เท่ากันเสมอ ที่เหลือก็ง่ายเลยครับ) _____________________ ฉันวอนให้สายลมพัดลอยผ่านไป |
#8
|
|||
|
|||
Hell Edition P1 แทบจะใช้ความรู้ทุกเรื่องใน สสวท 2 แนะนำว่าอย่าอ่านจะดีกว่าครับ
Let $\omega$ be the incircle of $\Delta ABC$. Let $T$ be the point which $\odot(BTC)$ touches $\omega$. Let $M, N$ be the midpoint of $BC, DI_A$ resp., where $I_A$ is the $A$-excenter of $\Delta ABC$. Notice that $MN\perp BC$. Thus $NB=NC$. Moreover, by taking homothety ratio $0.5$ at $D$, we see that $I_AE=I_AF\implies NP=NQ$ thus $N$ is the center of $BCPQ$. Let $K = BC\cap PQ$. It's well known that $PQ$ is the radical axis of $\odot(BIC)$ and $\omega$. Thus $K$ is the radical center of $\omega, \odot(BIC)$ and $\odot(ABC)$. Thus $KB\cdot KC = KD^2$. Moreover, by radical axis on $\odot(BTC), \odot(ABC), \omega$, we deduce that $KT$ touches $\omega$. Now we are ready to prove that $T, P, Q, X$ are concyclic. We invert around $\omega$, which sends $P\to B$, $Q\to C$, $X\to \odot(BIQ)\cap\odot(CIP) = Y$, which is the Miquel Point of self-crossing quadrilateral $BQCP$. Thus $Y$ is the foot from $I$ to $KN$. We have to show that $BTCY$ is cyclic. By ISL 2002 G7, $T$ lies on $DI_A$. Moreover, by homothety, $TD$ bisects $\angle BTC$. Thus $BTCN$ is cyclic. Moreover, note that $\angle BYI = 180^{\circ}-\angle BPX = 180^{\circ}-\angle CQX = \angle CYI$. So $YN$ is the external bisector of $\angle BTC$. Hence $BTCYN$ is cyclic as claimed. Finally, notice that $KT^2 = KB\cdot KC = KP\cdot KQ$. Thus $KT$ is tangent to both of $\omega$ and $\odot(TPQX)$ thus both circles are tangent at $T$ is desired. |
#9
|
|||
|
|||
มาทยอยลง Solution (แบบปกติ)
(ก) ให้ $I$ เป็น incenter ของ $\Delta ABC$ เห็นได้ชัดว่า $P\in BI, Q\in CI$ และ $$IP\cdot IB = ID^2 = IQ\cdot IC\implies BCPQ\textrm{ concyclic}$$ ตามต้องการ (ข) จาก $BP\perp DF$ และ $CQ\perp DE$ จะได้ว่า $$\angle SPR = \angle BPC - 90^{\circ} = \angle BQC - 90^{\circ} = \angle SQR \implies PQRS\textrm{ concyclic}$$ ตามต้องการ ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x+f(y)) = f(x)+y^2$ $P(0,0)\implies f(f(0)) = f(0)$ ทำให้ $P(0,f(0))\implies f(0)=0$ $P(0,y)\implies f(f(y)) = y^2$ เพราะฉะนั้น $f(y^2) = f(y)^2$ $P(x,f(y))\implies f(x+y^2) = f(x) + f(y^2)$ เมื่อแทน $x$ ด้วย $-y^2$ จะพบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ จึงสรุปได้ว่า $f(x+y) = f(x)+f(y)$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ แต่ $f(y^2) \geqslant 0$ เพราะฉะนั้น $f(x) = cx$ สำหรับบางค่าคงที่ $c$ ซึ่งขัดแย้ง สังเกตว่า flash drive ที่บ่าวแต่ละคนได้ จะสอดคล้องกับการกระจายเลขฐานสองของผลบวกความจุที่ตัวเองได้รับ เพราะฉะนั้น สมมติให้มีสองคน $P_1, P_2$ ที่ผลบวกความจุเท่ากัน จะพบว่า ทั้งสองคนต้องได้ flash drive เป็นเซตเดียวกัน เราดูขนาดความจุอันหนึ่ง ซึ่งทั้งสองคนมีเหมือนกัน ให้ $P_3$ เป็นอีกคนที่ถือ flash drive ขนาดเท่านี้ สังเกตว่า จะต้องมี flash drive แบบนึงที่ $P_1, P_2, P_3$ ไม่มี (เพราะใช้ไปแค่ $5$ แบบ) ดังนั้น เงื่อนไขแรกของโจทย์จึงต้องเป็นจริงตามต้องการ สังเกตว่าเปลี่ยน $(a,b,c)$ เป็น $(-a,-b,-c)$ ไม่เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ เพราะฉะนั้น WLOG $a,b>0$ แต่ $c<0$ จากเงื่อนไข $a+b+c=0$ จะได้ $a^2+ab+b^2 = b^2+bc+c^2 = c^2+ca+a^2$ เพราะฉะนั้น $$\begin{align*} \frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} &= \frac{(ab(a+b))^2}{(a^2+ab+b^2)^3} \\ &\leqslant \frac{(ab(a+b))^2}{\left(\frac{3}{4}(a+b)^2\right)^3} \\ &\leqslant \frac{\frac{(a+b)^6}{16}}{\frac{27}{64}(a+b)^6} \\ &= \frac{4}{27} \end{align*}$$ Equality Case เกิดเมื่อ $(a,b,c) = (1,1,-2)$ ทำให้คำตอบคือ $\boxed{\frac{4}{27}}$ จะแสดงว่า $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ เห็นได้ชัดว่า $5\mid a^5+b^5\implies 5\mid a+b$ ต่อไปจัดรูป $$\begin{align*} a^5+b^5 &= (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \\ &= (a+b)((a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3) + 5a^4) \end{align*}$$ สังเกตว่า $b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3\equiv 10b^3\equiv 0\pmod 5$ ดังนั้น $25\mid (a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3)$ แต่ $25\nmid 5a^4$ ดังนั้น $a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ หารด้วย $5$ ลงตัว แต่หารด้วย $25$ ไม่ลงตัวเสมอ เพราะฉะนั้น $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ ตามต้องการ นั่นคือคำตอบคือ $\boxed{625}$ 08 พฤษภาคม 2018 17:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut |
#10
|
||||
|
||||
ขอลง Hint ทุกข้อไว้นะครับ [แบบปกติ]
ปีนี้ข้อสอบง่ายกว่าเดิมเยอะเลย (ยกเว้นข้อ 10 นะ) DAY1 ไล่มุม มีหลายวิธี แต่วิธีที่ผมทำนะ - $f$ onto - $f(x+f(y)) \ge f(x)$ จำนวนเต็มทุกตัวจะมี presentation ใน base 2 เพียงแบบเดียว $c = -a-b$ $5 \mid a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ but $25 \nmid a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ DAY 2 ก. check $\mod 2,3,4,8$ ข. $(x,y,z) \in A \rightarrow (6^{6}x,6^{4}y,6^{3}z) \in A$ สมมติว่าเป็นการจัดที่ได้ค่าน้อยที่สุด แล้วใช้ $2^{n+1}+2^{n-1} > 2^n + 2^n$ $A$ คือผลบวก $n+1$ ใบที่น้อยที่สุด $B$ คือผลบวก $n$ ใบที่มากที่สุด จะได้ว่า $A>B$ หาค่าต่ำสุดของ $a_1$ เมื่อ $a_1$ เป็นไพ่ใบที่น้อยที่สุด $\angle KPL = 90^\circ$, ไล่ด้าน 10 ติดปัญหาหน่อย เดี๋ยวลบก่อนครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 09 พฤษภาคม 2018 20:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 เหตุผล: รีบพิมพ์ไปหน่อย |
#11
|
|||
|
|||
Solution 6-9
(ก) ขั้นแรกจะแสดงว่า $3\mid x,y,z$ สังเกตว่า $3\mid 2x^2-4z^4\implies z^4\equiv 2x^2\pmod 3$ ซึ่งเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $3\mid x, z$ เพราะฉะนั้น $9\mid 2x^2-4z^4=3y^3\implies 3\mid y$ ตามต้องการ ต่อไป จะแสดงว่า $2\mid x,y,z$ สังเกตว่า $2\mid 2x^2-4z^4 =3y^3\implies 2\mid y$ เพราะฉะนั้น $4\mid 3y^3+4z^4 = 2x^2\implies 2\mid x$ ดังนั้น $8\mid 2x^2+3y^3 = 4z^4\implies 2\mid z$ ตามต้องการ (ข) สังเกตว่า $(54t^6, 6t^4, 6t^3)\in A$ เพราะฉะนั้น $A$ เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ ให้สีที่ $i$ ปรากฎในตัวเลข $a_i$ ตัว เพราะฉะนั้น $a_1+a_2+...+a_{25}=61$ เห็นได้ชัดว่า $$m = (2^{a_1}-1) + (2^{a_2}-1) + ... + (2^{a_{25}}-1)$$ ต่อไปจะใช้เทคนิค smoothing พิสูจน์ว่าค่าต่ำสุดของ $m$ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $(a_1,a_2,...,a_{25})$ มีแค่ $2$ และ $3$ เท่านั้น สังเกตว่าถ้ามี $a,b\in \{a_1,a_2,...,a_{25}\}$ ที่ $a-b\geqslant 2$ แล้ว เราสามารถเปลี่ยน $(a,b)$ เป็น $(a-1, b+1)$ ซึ่งทำให้ค่า $m$ เปลี่ยนเป็น $$\begin{align*} m' &= m + (2^{a-1}-2^a) + (2^{b+1}-2^b) \\ &= m -2^{a-1} + 2^b \\ &< m \end{align*}$$ ซึ่งน้อยกว่าเดิม เพราะฉะนั้น การที่ $m$ จะน้อยสุดนั้น ทุกสองพจน์ใดๆ ของลำดับ $a_1,a_2,...,a_{25}$ จะต้องต่างกันไม่เกิน $1$ แต่ผลบวกต้องเป็น $61$ เพราะฉะนั้น ลำดับนี้ต้องประกอบไปด้วย $2,3$ เท่านั้น แก้สมการได้ไม่ยากว่าต้องมี $2$ ทั้งหมด $14$ ตัว และ $3$ ทั้งหมด $11$ ตัว เพราะฉะนั้น คำตอบคือ $14\cdot 2^2 + 11\cdot 2^3 - 25 = \boxed{119}$ คำตอบคือ $n=10$ ซึ่งสามารถสร้างได้โดยใช้ $101,102,...,121$ ต่อไปจะแสดงว่ามากสุด ให้หมายเลขสลากเป็น $a_1 > a_2 >... > a_{2n+1}$ สังเกตว่า $ a_{n+i+1}\leqslant a_i- n+1$ สำหรับทุก $i$ เพราะฉะนั้น $$\begin{align*} 2331 &\leqslant (a_1+a_2+...+a_n) + (a_{n+1}) + (a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{2n+1}) \\ &\leqslant a_{n+1} + (a_1+a_2+...+a_n) + [(a_1-(n+1)) + (a_2-(n+1)) +...+ (a_n -(n+1))] \\ &= a_{n+1} + 2(a_1+a_2+...+a_n) - n(n+1) \\ &\leqslant a_{n+1} + 2330 - n(n+1) \end{align*}$$ เพราะฉะนั้น $a_{n+1} \geqslant n(n+1)$ ดังนั้น $a_{n+1-i}\geqslant n(n+1) + i$ สำหรับทุก $i=1,2,...,n$ เพราะฉะนั้น $$\begin{align*} 1165 &\geqslant a_1+a_2+...+a_n \\ &\geqslant (n(n+1)+1) + (n(n+1)+2) + (n(n+1)+3) + ... + (n(n+1)+n) \\ &= \frac{(n(2n^2+3n+1)}{2} \end{align*}$$ เพราะฉะนั้น $n\leqslant 10$ ตามต้องการ ให้ $X, Y$ เป็น projection จาก $K, L$ ลง $AP$ ให้ $Q'$ เป็นจุดบน $AP$ ที่ทำให้ $PX = Q'Y$ จะแสดงว่า $Q=Q'$ จาก $\angle KPL = 90^{\circ}$ จะได้ $$\begin{align*} \Delta KPX\sim \Delta PLY &\implies \frac{KX}{PY} = \frac{PX}{LY} \\ &\implies \frac{KX}{Q'X} = \frac{Q'Y}{LY} \\ &\implies \Delta KQ'X \sim\Delta Q'LY \end{align*}$$ เพราะฉะนั้น $\angle KQ'L = 90^{\circ}\implies Q'=Q$ ตามต้องการ สุดท้ายนี้ สังเกตว่า $$\begin{align*} AQ &= AP - PX - PY \\ &= AP - \frac{AP+BP-AB}{2} - \frac{AP+CP-AC}{2} \\ &= AP- \frac{2AP + BC - AB- AC}{2} \\ &= \frac{AB+AC-BC}{2} \end{align*}$$ ดังนั้น $AQ=AD$ ตามต้องการ |
#12
|
||||
|
||||
Solution ข้อ 10 แก้ใหม่แล้ว
$$af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y); y > 2018 \quad ...(0)$$ $$af(x+2y)+bf(x-2y)=cf(x)+g(2y) \quad ...(1)$$ ได้ไม่ยากว่า $$a^2f(x+2y)+b^2f(x-2y)=(c^2-2ab)f(x)+g(y)(a+b+c) \quad ...(2)$$ จาก (1),(2) $$(a^2-ab)f(x+2y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_1(y) \quad ...(3)$$ เมื่อ $h_1(y) = g(y)(a+b+c)-g(2y)$ $$(a^2-ab)f(x+4y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_2(y) \quad ...(4)$$ เมื่อ $h_2(y) = h_1(2y)$ จาก (3),(4) $$(a^2-ab)(f(x+4y)-f(x+2y))=h_2(y)-h_1(y)$$ Case 1. If $a \neq b$ then $$f(x+4y)-f(x+2y)=h_3(y)$$ เมื่อ $h_3(y) = \dfrac{h_2(y)-h_1(y)}{a^2-ab}$ จะได้ไม่ยากว่า $$ f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_4(y)$$ เมื่อ $h_4(y)=2h_3(y)$ Case 2. If $a=b$ พิจารณาสมการที่ 3 $$0=(c^2-2a^2-ac)f(x)+h_1(y)$$ $c=2a$ or $c=-a$ or $f(x)$ is constant Case 2.1 If $c=2a$ พิจารณาสมการที่ 1 $$f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_5(x)$$ เมื่อ $h_5(x)=\dfrac{g(2y)}{a}$ Case 2.2 If $c=-a$ พิจารณาสมการที่ 1 $$f(x+6y)=f(x)$$ จะได้ว่า $f(x)$ is constant Case 2.3 $f(x)$ is constant -> trivial Conclusion ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า $$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+h(y)$$ สำหรับ $y > 4036$ แล้ว ขยายเป็น $y \in \mathbb{R}$ ไม่ยากแล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 10 พฤษภาคม 2018 01:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ไอเดียตรงส่วนนั้นมันมีปัญหาอะไร เพราะเหมือนว่า solution นี้ไม่ได้ใช้ lemma อันนั้นแล้ว |
#14
|
||||
|
||||
โทษทีครับ ติดงานที่มหาลัย ;_; อาจจะง่ายกว่าวันแรกครับ 555
Day 2 Hell's Edition 6. ให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันและ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $px^p = qy^q + rz^r$. จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์ 7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,2561\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคู่โดยไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$ 8. ให้ $k$ เป็นจำนวนนับ สลากกินแบ่ง $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่งทุกใบมีค่ามากกว่า $x$ แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่ง $k$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $\frac{kx}{2n}$ จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ ในรูปของ $x,n$ 9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$ และ $AC$ ที่ $E$ ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$ ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$ ให้ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบ $QED$ จงแสดงว่า $\Gamma$ และวงกลมล้อมรอบ $KPL$ สัมผัสกัน ก็ต่อเมื่อ วงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม $ ABP,ACP$ มีรัศมีเท่ากัน 10. เหมือนเดิมครับ มันยากอยู่แล้ว (หมดไอเดียในการทำให้ยากละครับ 55555)
__________________
I'm Back 10 พฤษภาคม 2018 17:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
Let $k=2.018,c=f(0)$ the equation becomes $f(x+f(y))=f(x)+y^k$ $P(x,0):f(x+c)=f(x)\Longrightarrow f(c)=c$ $P(x,c):f(x)=f(x+c)=f(x)+c^k\therefore f(0)=c=0:P(0,x)\Longrightarrow f(f(x))=x^k$ see that $f(f(1))=1$ $$(x+f(y))^k=f(f(x+f(y)))=f(y^k+f(x))=f(y^k)+x^k...(m)$$ replace $x=0$ in the above equation we have $\displaystyle f(y^k)=f(y)^k$ replace $x=1,y=f(1)$ in the equation $(m)$ we have $2^k=2$ which is impossible since $k\not =1$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
TMO 14 Discussion | Pitchayut | ข้อสอบโอลิมปิก | 15 | 18 พฤษภาคม 2017 17:21 |
TMO 13 Discussion | Beatmania | ข้อสอบโอลิมปิก | 32 | 29 กันยายน 2016 12:30 |
Topic for discussion | คนอ่อนคณิต | ทฤษฎีจำนวน | 1 | 06 มกราคม 2009 17:54 |
|
|