เทคนิคการใช้โคชีกับเศษส่วน

[Spotanus]

(อันนี้ผมฟังต่อๆมาจากเพื่อน กับคิดเอง เลยเอามาเผยแพร่)
ถ้าพูดถึง Cauchy's Inequality แล้ว นิยามจริงๆของมัน หลายๆคนคงรู้อยู่

Cauchy

สำหรับ $a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n} \in R$ ใดใด จะได้ว่า
$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}} \geq a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}$

แต่พอมาเจอโจทย์จริงๆแล้ว เช่น Proof Nesbitt's Inequality หลายคนคงงงไปเลยทีเดียว ไม่เห็นเหมือนนิยามเลย
ผมเลยสรุปการใช้ได้ดังนี้ (การใช้โคชีกับเศษส่วน)
1.$$\frac{a}{x} +\frac{b}{y} +\frac{c}{z} \geq \frac{\left(a+b+c\right) ^{2}}{ax+by+cz}$$
2.$$\frac{a}{x} +\frac{b}{y} +\frac{c}{z} \geq \frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right) ^{2}}{x+y+z}$$
จะเห็นได้ว่า เราสามารถฆ่ามันได้โดยง่ายเลย ใช่มะครับ

ตัวอย่าง
ให้ $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมแหลม จงแสดงว่า $$\frac{2a^{2}c^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}} +\frac{2b^{2}a^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}} +\frac{2c^{2}b^{2}}{c^{2}+a^{2}-b^{2}} \geq \left(a+b+c\right) ^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$$

Proof

ตอนแรกต้องจัดรูปก่อน จะได้ว่า มันสมมูลกับ
$$\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}} +\frac{c^{2}}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}\geq \frac{\left(a+b+c\right)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $$
จบเลยครับ