|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
พี่ๆทุกท่าน ช่วยดูบทวิเคราะห์นี้หน่อยครับ !!
บทวิเคราะห์นี้ผมเขียนขึ้นมา เพราะความอยากรู้สูตรในการหาจุดที่เส้นตรงและวงกลมสัมผัสกันครับ (เพราะครูไม่ได้สอนอ่าคับ แหะๆ)
คือ ผมอาจไม่ใช่คนแรก ที่คิดสูตรมาได้ และผมก็ไม่เคยเห็นหน้าตาของมันด้วย แต่ที่ผมหามาได้ ผมก็ลองคิดเอง โดยใช้สมบัติทางเรขาคณิตวิเคราะห์มาช่วยครับ ยังไงพี่ๆ ช่วยพิจารณาด้วยนะครับ ว่าที่ผมคิดได้เนี่ย มันถูกต้องรึเปล่า ><! บทวิเคราะห์การหาจุดที่เส้นตรงสัมผัสกับวงกลม ให้เส้นตรง $L: Ax+By+C = 0$ สัมผัสกับวงกลม $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ ที่จุด $(p, q)$ Slope(L) = $\frac{\displaystyle{-A}}{\displaystyle{B}}$ Slope ของรัศมีวงกลมที่ลากมาตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุด $(p, q)$ (กำหนดเป็นเส้นตรง $R$) = $\frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}$ หาสมการของเส้นตรง $R$ 1) ผ่านจุด $(h, k)$ $m(x - x1) = y - y1$ $\frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}(x – h) = y – k$ $Bx – Bh = Ay – Ak$ $Bx – Ay = Bh - Ak$ ........(1) 2) ผ่านจุด $(p, q)$ $m(x - x1) = y - y1$ $\frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}(x – p) = y – q$ $Bx – Bp = Ay – Aq$ $Bx – Ay = Bp – Aq$ ……(2) (1) = (2) $Bh – Ak = Bp – Aq$ $Bp – Bh = Aq – Ak$ $B(p – h) = A(q – k) $ ดังนั้น เราได้สมการเป็น $$B(p – h) = A(q – k) $$ กล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า $$(p – h) = \frac{\displaystyle{A}}{\displaystyle{B}}(q – k) $$ และ $$(q – k) = \frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}(p – h)$$ จากสมการทั้งสองข้างต้น เมื่อยกกำลังสอง ได้เป็น $$(p – h)^2 = \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}}(q – k)^2 $$ และ $$(q – k)^2 = \frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}}(p – h)^2$$และจากสมการวงกลม ที่จุด $(x, y) = (p, q)$ $r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 $ $r^2 = (p-h)^2 + (q-k)^2$ แทน $(q – k)^2 = \frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}}(p – h)^2 $ ได้เป็น $r^2 = (p-h)^2 + \frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}}(p-h)^2$ $r^2 = (1+\frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}})(p-h)^2$ ………* $r^2 = (p-h)^2 + (q-k)^2$ แทน $(p – h)^2 = \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}}(q – k)^2 $ ได้เป็น $r^2 = \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}}(q – k)^2 + (q-k)^2$ $r^2 = (1 + \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}})(q – k)^2$ ………* ดังนั้น สรุปได้ดังนี้ ถ้าให้เส้นตรง $L: Ax+By+C = 0$ สัมผัสกับวงกลม $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ ที่จุด $ (p, q) $ เราจะหา $p$ ได้จากสมการ $$r^2 = (1+\frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}})(p-h)^2 ………*** $$ และหา $q$ ได้จากสมการ $$r^2 = (1 + \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}})(q – k)^2 ………***$$ ***พิกัดจุด $(p, q)$ ที่ได้จากสมการทั้งสอง จะมี 2 คำตอบ ดังนั้น จึงต้องตรวจคำตอบโดยการนำพิกัดจุดทั้งสองคำตอบที่ได้มาแทนลงในสมการของเส้นตรง โดยแทน $x$ ในเทอมของ $p$ และแทน $y$ ในเทอมของ $q$ แล้วดูว่าพิกัดจุดใดที่ทำให้สมการเป็นจริง พิกัดนั้นก็จะเป็นคำตอบที่ถูกต้องครับ ************************************************* บทวิเคราะห์ของผมมีเท่านี้แหละคราบบบ อิอิ โปรดพิจารณาด้วยนะครับ ด้วยมิตรภาพ..... 18 พฤศจิกายน 2007 00:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dream's railway เหตุผล: แทรกรูปคับ |
#2
|
|||
|
|||
ควรแยกกรณีที่ $A=0$ หรือ $B=0$ ออกมาก่อนครับ เพราะสูตรที่ได้ใช้ไม่ได้กับสองกรณีนี้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
หรือไม่ก็เขียนให้อยู่ในรูปนี้ครับ จะใช้ได้ทุกกรณี
$$(p-h)^2=\frac{A^2r^2}{A^2+B^2}$$ $$(q-k)^2=\frac{B^2r^2}{A^2+B^2}$$ ผมยังไม่ได้ตรวจสอบความถูกต้อง แต่เห็นสูตรแล้วคิดว่าไม่มีปัญหาครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
ครับๆ แล้วผมจะลองกลับไปตรวจสอบใหม่
ขอบคุณพี่มากๆเลยนะครับ >< |
|
|