#1
|
||||
|
||||
Convexity
Let $1\geq x,y,z\geq0$. Show that
$$\left|xy-yz\right|+\left|yz-zx\right|+\left|zx-xy\right|\leq\sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} $$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#2
|
||||
|
||||
Convexity 2
Let $x,y,z>0$. Show that
$$\frac{3}{5}\leq\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}<1$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ 03 กันยายน 2008 15:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Spotanus |
#3
|
||||
|
||||
Convexity 3
Let $x,y,z>0$ that $x+y+z=1$.
Does $\sin{\frac{1}{x}}+\sin{\frac{1}{y}}+\sin{\frac{1}{z}}$ have the maximum value?
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#4
|
||||
|
||||
Convexity 4
Let $x,y,z \in \left[0,1\right] $. Show that
$$\frac{x}{y^{2}+4}+\frac{y}{z^{2}+4}+\frac{z}{x^{2}+4}\leq\frac{3}{5}$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#5
|
||||
|
||||
Convexity 5
Let $a,b,c \in \left[0,1\right]$. Show that
$$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{c+a+1}+\left(\sqrt[3]{\pi}-1\right)\left(3-2\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right)\leq\sqrt[3]{\pi}$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#6
|
||||
|
||||
ขออนุญาตตอบแบบไม่ใช้ convexity ได้ไหมครับ(เพราะว่าทำไม่เป็น)
ข้อ 2 ครับ ฝั่งซ้าย โดย AM-HM ในบรรทัดที่ 1 ไปยังบรรทัดที่ 2 $\begin{array}{rcl} \frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}& =&(2x+2y+2z)(\sum_{cyc}\frac{1}{x+2y+2z})-3\\ &\geq& \frac{18}{5} - 3\\ &=&\frac{3}{5} \end{array}$ ฝั่งขวา จาก $\frac{x}{x+2y+2z}<\frac{x}{x+y+z}$ ดังนั้น $\sum_{cyc}\frac{x}{x+2y+2z}<\sum_{cyc}\frac{x}{x+y+z}=1$ จึงได้ว่าถ้า $x,y,z>0$ แล้ว $\frac{3}{5}\leq\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}<1$ ตามต้องการ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#7
|
||||
|
||||
สำหรับข้อ 2
สำหรับข้อสองโดยการใช้ Convexity นั้น
ต้องพิจารณาความ strictly convex เพื่อจะสรุปว่า $L.H.S. < 1$ (ถ้าไม่ใช้ความ strictly convex จะสรุปว่าน้อยกว่าไม่ได้ ได้เพียง $\leq$)
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะได้ $F_{XX}=\dfrac{2z(3x^2-4)}{(x^2+4)^3}< 0$ ในทำนองเดียวกัน $F_{YY}<0,F_{ZZ}<0$ ดังนั้น $F$ เป็น strictly concave function ในทุกตัวแปร เราจึงได้ว่า $F$ มีค่าสูงสุดต่ำสุดที่จุดมุมทั้ง $8$ ของลูกบาศก์ $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ ซึ่งจากการคำนวณพบว่า $F(1,1,1)=\dfrac{3}{5}$ เป็นค่าสูงสุด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ดังนั้นอสมการลดรูปเป็น $2y(z-x)\leq\sqrt{2(x^2+y^2+z^2)}$ $2y^2(z-x)^2\leq x^2+y^2+z^2$ แต่ $(z-x)^2\leq 1$ เนื่องจาก $z\leq 1+x$ ดังนั้น $2y^2(z-x)^2\leq 2y^2\leq x^2+y^2+z^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
อสมการและเอกลักษณ์ เกี่ยวกับ convexity | sompong2479 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 16 | 18 กุมภาพันธ์ 2006 10:39 |
|
|