|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
แก้โจทย์ integral 3 ชั้นให้ดูหน่อยครับ
คือผมอยากรู้ว่าเฉลยข้อนี้คืออะไรครับ
จงหาค่าของ $$\int_0^1\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2}\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \frac{dzdydx}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}}$$ โดยใช้พิกัดทรงกลม มีรูปด้วยจะขอบคุณอย่างมากเลยครับ ช่วยทีนะครับบบบบบบบบบ |
#2
|
||||
|
||||
วิเคราะห์ขอบเขตก่อน จะได้
$z=\sqrt{1-x^2-y^2}\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+z^2=\rho^2=1\quad\Rightarrow\quad\rho=1$ $y=\sqrt{1-x^2}\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=\rho^2\sin^2\phi=1\quad\Rightarrow\quad\rho\sin\phi=1$ $x=0\,\to\,1$ วาดรูปใหม่ ถ้าวาดไม่ผิดจะได้ทรงกลมใน octant แรก ส่วนตัว integrand คือ $\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}$ ครับ เมื่อรวมกับ Jacobian factor $\rho^2\sin\phi$ จะเขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น $$\int_0^{\pi/2}\!\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\!\int_0^1 \frac{\rho^2\sin\phi}{\sqrt{1-\rho^2}}\,d\rho d\phi d\theta$$ส่วนต่อจากนี้ไม่น่าจะยากแล้วครับ ปล. อย่าใจร้อนสิครับ ตั้งแค่กระทู้เดียวก็พอแล้ว ไม่มีใครว่างตอบตลอดเวลาหรอกครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#3
|
||||
|
||||
ถ้าผมคิดไม่ผิดจะได้ $\frac{\pi^2}{8}$
|
#4
|
|||
|
|||
$$\int_0^1\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2}\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \frac{dzdydx}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}}~(รูป A)~=~\int_0^{\frac{\pi}{2} }\!\!\!\int_0^{\frac{\pi}{2} }\!\!\!\int_0^1 \frac{\rho ^2 sin~\phi }{\sqrt{1-\rho ^2}}d\rho d\phi d\theta ~(รูป B)~=\frac{{\pi}^2}{8} $$ |
#5
|
||||
|
||||
ขออนุญาต ถามต่อเลยละกัีนครับโจทย์มีอยู่ว่า
จงหาปริมาตรรูปทรงสามมิติที่กำหนัดโดยใช้ปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม 1รูปทรงสามมิติที่ล้อมรอบด้านบนด้วยกรวย $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ด้านล่างด้วยกรวย $z=-2\sqrt{x^2+y^2}$และด้านข้างด้วยทรงกลม $x^2+y^2+z^2$=1 ผมทำได้เป็น $~\int_0^{2\pi }\!\!\!\int_{\frac{\pi}{4}^tan^{-1}}{\frac{-1}{2} }\!\!\!\int_0^1{\rho ^2 sin~\phi }d\rho d\phi d\theta ~$ ถูกหรือเปล่า ช่วยเช็คคำตอบทีนะครับ ปล จากพายส่วนสี่ ถึง อาร์คแทนลบหนึ่งส่วนสองนะครับ ปล2 คุณชายน้อยใช้โปรแกรมอะไรวาดรูปครับ อยากได้ไปใช้จังครับ 22 กุมภาพันธ์ 2009 00:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gnopy |
#6
|
|||
|
|||
ถูกต้องครับ เยี่ยมมาก ถ้าสามารถ follow Solution โจทย์ได้ขนาดนี้นับว่าเป็นเซียนแล้วครับ... อ้อคำตอบคือ $\frac{1}{15}(5\sqrt{2}-4\sqrt{5})\pi $
ปล. ใช้ MS Word ครับ ไม่ถึงกับต้องใช้โปรแกรมขั้นสูง เพราะมันยุ่งยากในการเขียน Script ดู Source MsWord |
#7
|
||||
|
||||
ได้คำตอบตรงกันครับ แต่เฉลยดันเป็น $18\pi(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}})$
คุณชายน้อย ยังไม่นอนหรอครับ เล่น msn ไหมครับ อยากAdd ไว้เป็น freind ไว้คุยเรื่องคณิตศาสตร์ครับผม ปล เรื่องนี้ผมตื่นไปเรียนไม่ทัน เลยไม่เข้าใจ มาเริ่มทำความเข้าใจ 2-3 วันที่ผ่านมาเองครับ ไม่ถือว่าเซียนหรอกครับ 22 กุมภาพันธ์ 2009 01:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gnopy |
#8
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ : เอาไว้เปิดรับสาย m เมื่อไร จะบอกครับ เดี๋ยวต้องไปคิดสูตรขนมก่อนครับ (มีคนขอการบ้านมา ต้องรีบตอบก่อนครับ)
|
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
$$V~=~\int_{0}^{2\pi }\, \int_{\frac{\pi}{4}}^{ \pi -|arctan(\frac{-1}{2} )| }\, \int_{0}^{1}\,{\rho ^2 sin~\phi }d\rho d\phi d\theta~=~\frac{1}{15}(5\sqrt{2}+4\sqrt{5})\pi~$$ และขอยืนยันคำตอบด้วยครับ !!!Confirm... 22 กุมภาพันธ์ 2009 09:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คุณชายน้อย เหตุผล: ปรับคำพูดนิดหน่อย |
#10
|
||||
|
||||
จริงด้วยต้องมี $\pi-arctan(\frac{-1}{2})$ด้วย ก็ว่าทำไมผมได้เป็น - ออกมา
ขอบคุณมากๆครับ |
#11
|
|||
|
|||
ขอขอบคุณทุกท่านที่มาช่วยตอบนะครับผมอยากถามอีกนิดนึงคือผมไม่ค่อยจะรู้เรื่องเท่าไหร่อะครับช่วยอธิบาย ทีครับว่าทำไมต้องมี รูป B
|
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เพื่อหาขอบเขตของการอินทิเกรตครับ เป็นต้นว่า $\rho$ ตั้งแต่ไหนถึงไหน อะไรทำนองนั้น แต่ถ้าเราไม่ได้อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนระบบพิกัดฉากไปเป็นระบบทรงกลมหรือทรงกระบอกก็ไม่ต้องมีรูป B ก็ได้ครับ 22 กุมภาพันธ์ 2009 15:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gnopy |
#13
|
|||
|
|||
ขอบคุณอย่างแรงเลยครับที่มาทำให้คนไม่ค่อยรู้เรื่องแคลอย่างผมเข้าใจขึ้นมาเยอะ
ผมขอถามอีกคำถามนะครับ รูป B ที่มีค่า = $\frac{\pi^2}{8}$ นี่คือค่าที่ได้จากการอินทิเกรตแล้วใช่ไหมครับเพราะผมตอนนี้ในมือไม่มีปากกาหรือดินสอเลยอะครับแต่ใจร้อนอยากทราบอ่ะครับ ขอบคุณอย่างสูงครับแก่ผู้รู้ทุกท่านที่ช่วยสละเวลาอันมีค่ามาตอบคำถามผม 22 กุมภาพันธ์ 2009 17:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Zunlie เหตุผล: เขียนผิด |
#14
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ความหมายของ integral 3 ชั้น | gnopy | Calculus and Analysis | 2 | 26 มกราคม 2009 15:03 |
การ integral | Eng_Day | Calculus and Analysis | 6 | 19 มกราคม 2009 00:30 |
ช่วยจัดการ integral ตัวนี้ทีครับ | Rossix | Calculus and Analysis | 4 | 11 กันยายน 2008 20:17 |
โจทย์ Integral ค่ะ ช่วยคิดทีนะๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ | Ding Dong | Calculus and Analysis | 7 | 25 กรกฎาคม 2006 15:23 |
integral จำกัดเขตข้อนี้ทำไงครับ | xlover13 | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 14 | 03 มกราคม 2002 20:04 |
|
|