แก้สมการเวียนบังเกิดให้หน่อยครับ

[Ne[S]zA]

กำหนด $a_n=a_{n-1}+2n-3$ เมื่อ $n\geqslant 1$ โดย $a_1=0$ และ $a_2=1$

[[SIL]]

โจทย์ให้หาอะไรหรอครับ ??

[nooonuii]

กำหนด $a_n=a_{n-1}+2n-3$ เมื่อ $n\geqslant 1$ โดย $a_1=0$ และ $a_2=1$

$~~~~~~~a_1=0$

$a_2-a_1=2(2)-3$

$a_3-a_2=2(3)-3$

$a_4-a_3=2(4)-3$

$~~~~~\vdots$

$a_{n-1}-a_{n-2}=2(n-1)-3$

$a_n-a_{n-1}=2n-3$

บวกทุกบรรทัดเข้าด้วยกัน

$a_n=2(2+3+\cdots+n)-3(n-1)$

$~~~=(n-1)^2$

[Ne[S]zA]

ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii
ว่าแต่ถ้าจะแก้แบบสมการเวียนบังเกิดไม่เอกพันธ์ละครับ
เหมือนในหนังสือคอมบินาทอริกของสอวน.อ่ะครับ จะแก้ยังไงหรอครับ
ผมอ่านแล้วไม่เข้าใจ

[passer-by]

คำตอบมี 2 ส่วนรวมกันครับ สมมติเป็น $ a_c+a_p$

step แรก คือ แก้ $ a_n = a_{n-1}$ ก่อน ซึ่งจะได้ คำตอบเป็น constant (ส่วนนี้ก็คือ $a_c$ นั่นเอง)

step สอง ให้พิจารณา $ 2n-3$ ครับ จากนั้นกำหนดรูปแบบฟังก์ชันเลียนแบบ $2n-3$ ซึ่งก็จะกลายเป็น $ An+B$

คำตอบ $ a_p$ จะอยู่ในรูปแบบ $(An+B)a_c $ หรือเฉพาะข้อนี้ก็อยู่ในรูปแบบ $ Mn+L $ นั่นเอง

ถ้าไม่มีส่วนใดของ $a_p$ เหมือน $ a_c$ ก็เอา $a_p$ ตัวนี้รวมกับ $a_c$ แล้วแทนค่าในโจทย์หาคำตอบได้เลย

แต่ถ้ามีบางส่วนของ $a_p$ เหมือน $ a_c$ ให้กำหนด $a_p$ ใหม่ โดยเอา n คูณหน้า $a_p$ ไปเรื่อยๆจนกว่า จะไม่มีส่วนใดซ้ำกับ $a_c$

อย่างข้อนี้ จะเห็นได้ว่า $ Mn+L$ กับ $a_c $ ที่เป็นconstant มีส่วนที่เหมือนกัน (ตรง L กับ $a_c$)

ดังนั้นต้องกำหนด $ a_p$ ใหม่เป็น $ n(An+B)a_c$ หรืออยู่ใน form $Mn^2+Ln$ ซึ่งไม่มีส่วนใดเหมือน $a_c$ แล้ว

ดังนั้นตอนนี้คำตอบเต็มๆ อยู่ในรูปแบบ $ Mn^2+Ln+a_c$ แทนค่ากลับไปในโจทย์ เพื่อหา M,L,$a_c$ ก็จะได้คำตอบเท่ากับที่คุณ nooonuii ตอบไว้ครับ

Note : ข้อนี้ ให้เงื่อนไขแค่ $a_1=0$ ก็พอครับ

[Ne[S]zA]

ขอบคุณครับ จะลองทำดูนะครับ
ตอนนี้ปั่นการบ้านก่อนอิอิ