|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
HM. นะครับ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#32
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ...แก้แล้วครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#33
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จาก $abc=1$ จะทำให้ได้ว่า $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=ab+bc+ca$ โดย Cauchy-Schwarz Inequality จะได้ว่า $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\sum_{cyc} \dfrac{1}{a\sqrt{a}\sqrt{b+c}}\cdot \sqrt{a}\sqrt{b+c}\leqslant \sqrt{\sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3(b+c)}}\cdot \sqrt{2(ab+bc+ca)}= \sqrt{\sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3(b+c)}}\cdot \sqrt{2\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \Big)}$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ $$\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{2}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\leqslant \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3(b+c)}\_\_\_\_\_\_(*)$$ จาก $abc=1$ โดย AM.-GM. Inequality จะได้ว่า $$\dfrac{ab+bc+ca}{3}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=1 ----->> ab+bc+ca\geqslant 3\_\_\_\_\_(**)$$ (**) แทนใน (*) จะได้ว่า $$\sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3(b+c)}\geqslant \dfrac{3}{2}$$
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
29 เมษายน 2010 16:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
#34
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$x^4+y^4 \geqslant 2x^2y^2$ $y^4+z^4 \geqslant 2y^2z^2$ $x^4+z^4 \geqslant 2x^2z^2$ จับมาบวกกันทั้งสามอสมการได้ $x^4+y^4+z^4\geq (x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)$ $x^4+y^4+z^4\geq xyz(\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} )$ จัดหน้าใหม่เป็น $\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz} \geq (\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} )$ ไม่รู้ว่าการคูณไขว้ลงมานั้นจะต้องเผื่อกรณีที่$xyz<0$ซึ่งเครื่องหมายจะเปลี่ยน แต่โจทย์กำหนดว่า$x, y, z $เป็นจำนวนจริง....ถ้าผมจะผิดก็คงตรงนี้แหละครับ มาดูเฉพาะ$\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} $ $\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} \geqslant 2y$ $\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} \geqslant 2z$ $\frac{xy}{z} +\frac{xz}{y} \geqslant 2x$ จับสามอสมการมาบวกกันจะได้ $\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} \geqslant x+y+z$ จาก$a>b$แล้ว$b>c$จะได้ว่า$a>c$ $\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz} \geq (\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} )$ และ$\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{xz}{y} \geqslant (x+y+z)$ จะสรุปว่า$\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz} \geq (x+y+z) $ ลองช่วยผมดูหน่อยเถอะครับว่า จะทำผิดขั้นตอนหรือเปล่าครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#35
|
||||
|
||||
ผมว่า ถ้ามี $x,y,z$ เป็น ศูนย์ อย่างน้อยหนึ่งตัวก็ิผิดละครับ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#36
|
||||
|
||||
จากโจทย์ที่คุณหยินหยางกำหนดมานั้น$x,y,z$เป็นจำนวนจริง และที่ผมได้ตามดูในวิธีการเฉลยของสองท่าน จะกำหนดให้$x,y,z >0$ ซึ่งก็จริงอย่างที่คุณเนสว่า มันไม่จริงเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์....คงต้องหาวิธีทำใหม่อีกแล้ว
มาลองแตกต่อจาก$x^4+y^4+z^4 \geqslant (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2$ $(xy)^2+(yz)^2 \geqslant 2xy^2z$ $(yz)^2+(xz)^2 \geqslant 2xyz^2$ $(xy)^2+(xz)^2 \geqslant 2x^2yz$ จับมารวมกัน $(xy)^2+(yz)^2+(xz)^2 \geqslant xyz(x+y+z)$ จะได้$x^4+y^4+z^4 \geqslant xyz(x+y+z)$ ลองกลับไปดูการกำหนดของการใช้$AM-GM$พบว่าในการใช้$AM-GM$ นิยามกำหนดให้ $a_1,a_2,...,a_n >0$แล้ว $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1\times a_2\times ...\times a_n} $ ดังนั้นเราจึงใช้$AM-GM$ไม่ได้...ใช่ไหมครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 30 เมษายน 2010 11:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ เหตุผล: double post |
#37
|
||||
|
||||
$a_i \geqslant 0$ ไม่ใช่หรอครับ ถ้า $a_i >0$ คงจะมองรวมถึง HM. อ่ะครับ (หรือผมจำผิด)
แล้วก็ในที่นี้เราใช้ $a_1=(xy)^2$ และ $a_2=(yz)^2$ ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์อยู่แล้วครับ แต่ที่จริง จากความจริง เราได้อยู่แล้วว่า $(xy-yz)^2\geqslant 0$ ครับ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#38
|
||||
|
||||
คืออย่างนี้ครับ....โจทย์ข้อนี้เขียนไว้อย่างนี้ว่า
อ้างอิง:
เมื่อเรานำ$AM-GM$มาใช้พิสูจน์อสมการที่ระบุว่า ตัวแปรนี้เป็นจำนวนจริงใดๆ ตามโจทย์ของคุณหยินหยางแล้ว จะใช้ได้ไหม ใช้ได้แต่เฉพาะกรณีที่$a_1,a_2,...,a_n \geqslant 0$อย่างเดียว หรือรวมไปทั้งกรณีที่ตัวแปรเป็นจำนวนจริง(ซึ่งรวมจำนวนเต็มลบด้วย)...ผมงงตรงนี้คำว่าบทนิยามจำกัดของเขตไว้น้อยกว่าขอบเขตที่โจทย์กำหน ดให้กับตัวแปร....ช่วยอธิบายให้คนแก่ขี้สงสัยฟังหน่อยเถอะครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 30 เมษายน 2010 17:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#39
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่ถ้าเป็นจำนวนจริงบวกถึงจะใช้ได้ครับ |
#40
|
||||
|
||||
เนื่องจาก $a_1,a_2,a_3,...,a_n\geqslant 0$ เป็นเงื่อนไขของ $AM.-GM.$
แต่ในที่นี้ คุณกิตติใช้ $a_1=(xy)^2\geqslant 0$ และ $a_2=(yz)^2\geqslant 0$ ก็ถูกแล้วนี่ครับ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#41
|
||||
|
||||
ใช่จริงๆด้วย เพราะกำลังสองกำลังสี่ยังไงก็เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
ดังนั้นวิธีแรกที่ผมใช้การพิสูจน์ที่อยู่ในเทอมของ$x,y,z$โดยตรงเลยจึงใช้ไม่ได้ แต่สามารถนำ$x^2,x^4,y^2,y^4$มาใช้แบบ$AM-GM$ได้ ขอบคุณทั้งคุณScylla_ShadowกับคุณNe[S]zA ทั้งสองท่านเลยครับที่ช่วยชี้ทางให้
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 30 เมษายน 2010 18:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
|
|