#16
|
|||
|
|||
$f(x-t,y)+f(x+t,y)+f(x,y-t)+f(x,y+t)=2,010,t\not= 0 ----$*
แทน $x$ ด้วย $x+t$ ใน $*$ ได้ $f(x,y)+f(x+2t,y)+f(x+t,y-t)+f(x+t,y+t)=2,010 -----(1)$ แทน $x$ ด้วย $x-t$ ใน * ได้ $f(x-2t,y)+f(x,y)+f(x-t,y-t)+f(x-t,y+t)=2,010 -----(2)$ แทน $y$ ด้วย $y+t$ ใน * ได้ $f(x-t,y+t)+f(x+t,y+t)+f(x,y)+f(x,y+2t)=2,010 ----(3)$ แทน $y$ ด้วย $y-t$ ใน * ได้ $f(x-t,y-t)+f(x+t,y-t)+f(x,y-2t),f(x,y)=2,010 ------(4)$ แต่ $(1)+(2)=(3)+(4)$ จะได้ว่า $f(x+2t,y)+f(x-2t,y)=f(x,y+2t)+f(x,y-2t)------(5)$ แทน $ t\not= 0$ ด้วย $2t$ ใน * $f(x-2t,y)+f(x+2t,y)+f(x,y-2t)+f(x,y+2t)=2,010 ----(6)$ ได้ $f(x+2t,y)+f(x-2t,y)=1,005-----(7)$ และ $f(x,y+2t)+f(x,y-2t)=1,005-------(8)$ แทน $x=y=0$ ใน $(8)$ ได้ $f(0,2t)+f(0,-2t)=1,005$ แทน $2t\not=0$ ด้วย $t$ ใน สมการข้างบนจะได้ สำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ จะได้ว่า $f(0,t)+f(0,-t)=1,005----(9)$ แทน $x=0,y=2t$ ใน $(8)$ ได้ $f(0,4t)+f(0,0)=1,005$ แทน $4t\not=0$ ด้วย $-t$ ลงใน $(8)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ จะได้ว่า $f(0,-t)+f(0,0)=1,005----(10)$ จาก $(9),(10)$ จะได้ว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ $f(0,t)=f(0,0)---(11)$ และในทำนองเดียวกันทำแบบเดียวกันกับสมการ$(7)$จะได้ว่าสำหรับ ทุกจำนวนจริง $t\not=0$ $f(t,0)=f(0,0)---(12)$ ต่อไปจะแสดงว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ $f(x,y)=f(0,0)$ โดยแบ่งกรณีดังนี้ 1.$x=0,y=0$ เห็นชัดเจน 2.$x=0,y\not=0$ จาก $(11)$ จะได้ว่า $f(0,y)=f(0,0)=f(x,y)$ 3.$x\not=0,y=0$ จาก $(12)$ จะได้ว่า $f(x,0)=f(0,0)=f(x,y)$ 4.$x\not=0,y\not=0$ จาก $(7),(8)$ แทน $2t\not=0$ ด้วย $t$ จะได้ว่า $f(x+t,y)+f(x-t,y)=1,005-----(13)$ $f(x,y+t)+f(x,y-t)=1,005-----(14)$ แทน $(x,y,t)$ ด้วย $(x,2y,x)$ ใน (13) ได้ $f(2x,2y)+f(0,2y)=1,005----(15)$ จาก (10) ได้ว่า $f(0,t)+f(0,0)=0$ แทน $2y\not=0$ ด้วย $t$ ใน $(10)$ ได้ว่า $f(0,2y)+f(0,0)=1005----(16)$ จาก $(15),(16)$ จะได้ว่า $f(x,y)=f(0,0)$ จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องคือฟังก์ชันค่าคงตัว $f(x,y)=\frac{1005}{2}$ ปล1.มีผิดพลาดบอกด้วยนะครับ ปล2.ปีนี้ไม่แจก Shortlisted ในพิธีปิดแบบปีก่อน อดโจทย์สวยๆเลย - - 03 พฤษภาคม 2010 10:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ zzz123 |
#17
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#18
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ต้องเลี่ยงมาใช้ Weighted AM-GM ในวิธีที่สองแทน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#19
|
||||
|
||||
กรรมการรู้จักอยู่แล้วครับ เด็กสมัยนี้เก่งกันจังเลย 555+
__________________
There are only two ways to live your life. One is as though nothing is a miracle. The other is as though everything is a miracle. 5th POSN: Gold medal IPST 2008: Gold medal Friendship: Dektep RoSe_JoKer Anonymous314 owlpenguin tatari_nightmare |
#20
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แล้ว Muirhead นี้มันไม่ได้คล้ายๆกับ Solution 2 นี้หรอครับ อ้างอิง:
|
#21
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้าอสมการไม่สมมาตรใ้ช้ Muirhead ไม่ได้นะครับ ... เดี๋ยวว่างๆจะลองทำดูนะครับ ขอบคุณสำหรับโจทย์...ว่าแต่คนโพสนิได้เหรียญทองที่เท่าไหร่ินิคับ ทำได้เยอะจังเลยน่อ
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#22
|
|||
|
|||
ข้อ 5 วันที่ 2 โจทย์สวยดีครับ
ถ้าลองเปลี่ยนมุมมองจากโจทย์ FE มาเป็น โจทย์เรขาคณิต ผสมพีชคณิต จะง่ายกว่าเดิมเยอะเลย จริงๆ เงื่อนไขฟังก์ชัน ก็เหมือนเรา label จำนวนจริงให้จุดทุกจุดบนระนาบ XY โดย มีข้อแม้ว่า ผลบวกค่าที่ทุกจุดมุมของสี่เหลี่ยมรูปข้าวหลามตัดใดๆ ต้องเป็น 2010 ลองดูรูปข้างล่างประกอบครับ รวมค่าตัวเลขของจุดมุมของข้าวหลามตัด 5 รูป (4 รูปเล็กกับ 1 รูปใหญ่) จะได้สมการ 2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+2e = (5)(2010) (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+e = (5)(1005) (a+b+d+e)+(e+f+h+i) +(c+g) = 5025 ดังนั้น c+g = 1005 ซึ่งส่งผลให้ a+i = 1005 เท่ากับว่า ตอนนี้ ผลบวกมุมตรงข้ามของข้าวหลามตัดใหญ่ เป็น 1005 จากนั้นถ้าเราแบ่ง cbef ,edgh เป็น 4 รูปย่อย เหมือนรูปใหญ่ ก็จะได้ c+e =1005 และ e+g =1005 ดังนั้น g= e= c ในทำนองเดียวกัน จาก a+i =1005 ก็จะได้ a= i = e สรุปว่า a= i=c=g = 502.5 แต่รูปนี้ สร้างตรงไหนบนระนาบ XY ก็ให้จุดมุมเป็น 502.5 เสมอ ดังนั้น จุดทุกจุดถูก label ด้วยค่าคงที่ 502.5 --------------------------------------------------------------------------- ข้อ 4 วันที่ 2 ตรงช่วงแรกที่พิสูจน์ว่าเป็นสามเหลี่ยม ไม่ยากครับ ขอพิสูจน์แค่เฉพาะอสมการส่วนสูงแล้วกัน แนวคิดคร่าวๆ คือ จาก law of cosine : $ b_3^2+c_3^2 -2b_3c_3 \cos A_3 =a_3^2$ สุดท้าย จัดรูปแล้วจะได้ $ b_3c_3 \cos A_3 = b_2c_2 \cos A_2+ b_1c_1 \cos A_1 $ พอยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง แล้วจัดรูปอีกครั้ง จะได้ $(b_1c_2\cos A_1 - b_2c_1\cos A_2)^2 +(b_1c_2 \sin A_1)^2 +(b_2c_1 \sin A_2)^2 = 4(\Delta_3^2 -\Delta_1^2-\Delta_2^2 ) $ ดังนั้น $ (b_1c_2 \sin A_1)^2 +(b_2c_1 \sin A_2)^2 \leq 4(\Delta_3^2 -\Delta_1^2-\Delta_2^2 )$ ซึ่งสมมูลกับ $$ \frac{\Delta_3^2}{c_3^2} \,\, \geq \,\, \frac{\Delta_1^2}{c_1^2} \,+\,\frac{\Delta_2^2}{c_2^2} \Rightarrow r_3^2 \,\,\geq \,\, r_1^2+ r_2^2 $$ Note :สัญลักษณ์ $ \Delta $ หมายถึงพื้นที่สามเหลี่ยมครับ ---------------------------------------------------------------------- p.s. อยากได้วิธีข้อ 8 วันแรก ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 04 พฤษภาคม 2010 07:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#23
|
||||
|
||||
ผมชอบเฉลยโจทย์ข้อ 5 วันที่ 2 ของคุณ passer-by มาก!
ความจริงแล้ว FE ส่วนใหญ่ ประยุกต์มาจากโจทย์เรขาคณิตก่อน แล้วจึงเกิดสมการเหล่านี้ แต่ระยะหลังเรามักแก้ FE จากมุมมองพีชคณิต ผมดู Application ในเล่ม Lectures on FE and Application ที่ แนะนำไว้ก่อนหน้านี้ ก็พบว่าส่วนใหญ่เป็น Application ทางเรขาคณิต
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#24
|
|||
|
|||
วิธีทำข้อ 5 สุดยอดมากเลยครับผมนั่งแทนค่าตั้งนาน
ข้อ 8 จริงๆแล้ว $d(x,y)$ เป็นจำนวนที่นิยามขึ้นมาใหม่ เหมือนเป็นตัวแปร $z$ ตัวหนึ่งนั่นแหละครับ เพราะฉะนั้นถ้าแ่บ่ง $\{1,2,3,...,2553\}$ ออกเป็น $\{1,2,...,37\}\cup\{38,39,...,74\}\cup...\cup\{2517,2518,...2553\}$ ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตที่เป็นเศษของการหารจำนวนเต็มใดๆด้วย $2553$ และรวมมีเซตดังกล่าวทั้งหมด $69$ เซต ดังนั้นถ้ามี เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มอย่างน้อย $70$ตัว โดยหลักรังนกพิราบต้องมี $2$ ตัวอยู่ในเซตเดียวกัน ให้เป็น $m,n$ จะได้ว่า $\left|\,\right.m-n\left|\,\right. \leqslant 36(mod 2553)$ ดังนั้น $d(m,n)\leqslant 36$ ตามต้องการ ข้อ 7 ผมขออนุญาตเพิ่มอีก Solution ละกันนะคับ โดย $AM-GM$ 1.$\frac{a^5}{bc^2}+\frac{a^5}{bc^2}+b^2+c^2+c^2\geqslant 5a^2$ ทำแบบนี้กับอีก 2 ตัว แล้วบวกกันหมดจะได้ $2(L.H.S.)+3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 5(a^2+b^2+c^2)$ $\therefore L.H.S.\geqslant a^2+b^2+c^2$ 2.จาก $\frac{a^5}{bc^2}+bc+ac\geqslant 3a^2$ ทำแบบนี้กับอีก 2 ตัวแล้วบวกกันได้ $L.H.S.\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geqslant a^2+b^2+c^2$ $\therefore L.H.S.\geqslant a^2+b^2+c^2$ 04 พฤษภาคม 2010 11:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ zzz123 |
#25
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#26
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ตรงที่ผม mark สีแดงไว้ ยังไม่เคลียร์ครับ เพราะเงื่อนไข $ (m-n)^2 \equiv d(m,n)^2 mod \,(2553)\,$ ถึงแม้ m,n เป็นแค่เศษ และ d(m,n) ไม่เกิน 1276 ก็ไม่ได้ imply $ d(m,n) = \left|\,m-n \right| $ นะครับ เช่น $ 16^2 \equiv 53^2 mod \,(2553)\, $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#27
|
|||
|
|||
Oops!! ขออภัยด้วยครับ
ตอนแรกผมมองแต่ว่า $16^2 \equiv 16^2 (mod 2553)$ ลืมไปว่า $16^2\equiv 53^2 (mod 2553)$ ด้วย เดี๋ยวผมลองไปคิดใหม่ละกันนะครับ |
#28
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้าสมการ $x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมดแล้ว $2a^2\geq 5b$ สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อรากทั้งหมดมีค่าเท่ากัน กลับมาที่โจทย์จะเห็นว่า $2\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^2=5\Big(\dfrac{5}{2}\Big)$ ดังนั้นรากทุกรากต้องเท่ากัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#29
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
A.M.-G.M. Inequality \[\sum_{cyc}(\frac{a^5}{bc^2}+\frac{a^5}{bc^2}+b^2+c^2+c^2)\geqslant \sum_{cyc}5a^2\] |
#30
|
|||
|
|||
เฉลยชุดที่ 1 ข้อ 2 เรขาคณิต
วาดรูปให้สอดคล้อง จากการพิจารณาจากรูป ให้ เส้นตรง BC ตัดกับ เส้นตรง EF ที่จุด O มุม FBC = FEC = มุม 1 และ มุม BFE = มุม BCE = มุม 2 จะได้ สามเหลี่ยม FOC คล้ายกับ สามเหลี่ยม BOF แต่จากสามเหลี่ยมทั้งสองบรรจุในวงกลม ดังนั้น สามเหลี่ยม FOC = สามเหลี่ยม BOF จึงได้ว่า เส้นตรง DB = เส้นตรง BF = เส้นตรง FC = z มุม EFC = มุม BFD = มุม 3 จาก เส้นตรง OC = OF ดังนั้น สามเหลี่ยม OFC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ให้ เส้นตรง OC = เส้นตรง OF = v จากปีทากอรัส $v^2$ + $v^2$ = $y^2$ จะได้ v = y/รูท2 จาก สามเหลี่ยม DBF คล้ายกับ สามเหลี่ยม COF y/v = เส้นตรง DF/z y คูณ รูท2/y = เส้นตรง DF/z เพราะฉะนั้น เส้นตรง DF = รูท2 คูณ z คนบางคนใช้เวลาคิดโจทย์ยาก 5 นาที บางคนคิด 1 ชั่วโมง ซ้ำร้ายบางคนใช้เวลาเป็นวัน อัจฉริยะกับคนธรรมดามันห่างกันเกินไป |
|
|