|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#2
22 พฤษภาคม 2010, 20:14
|
||||
|
||||
ผมคิดว่าจำวนนรุปแบบทีเป้นไปได้ มีอยู่ทั้งหหมด $\frac{1}{8}\left(\frac{8!}{3!2!3!}\right)=\frac{(8-1)!}{3!2!3!}$ รูปแบบคัรบ
ลองดุวิธีพิสูจนืของผมนะครัย พิสูจนื จำนวนวิธีเรียงของ $n$ ชิ้น โดยมี $k$ ชนิด ชนิดที่ $i$ มีของ $a_i$ ชิ้น เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (ของชนิดเดียวกัน ถือว่าเหมือนกัน) เป็นวงกลม เท่ากับ $$\frac{1}{n}\sum_{d|h}\phi(d)\frac{(n/d)!}{\prod_{i = 1}^{k}(a_i/d)!}$$ เมื่อ $h=(a_1,a_2,\cdots,a_k)$ และ $\phi(d)$ คือ Totient function (หรืออีกในนามว่า phi function) $=\int_{}^{}\frac{1}{1+\frac{sin^{4}x}{cos^{4}x} } \,dx $ $=\int_{}^{}\frac{cos^4x}{cos^{4}x+sin^{4}x} \,dx $ $=\int_{}^{}\frac{cos^4x}{(cos^{2}x+sin^{2}x)^2-2sin^2xcos^2x} \,dx $ $=\int_{}^{}\frac{2cos^4x}{2-sin^22x} \,dx $ $=\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{(1+cos2x)^2}{2-sin^22x} \,dx $ $=\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{cos^22x+2cos2x+1}{2-sin^22x} \,dx $ $=\frac{1}{2} [\int_{}^{}\frac{cos^22x}{2-sin^22x} \,dx +2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [\int_{}^{}\frac{1-sin^22x}{2-sin^22x} \,dx +2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}(1-\frac{1}{2-sin^22x} )\,dx +}+2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dsin2x ] ---(*)$ ให้ $u=sin2x ,$ และ $u=\sqrt{2} sin\theta $ ; $\frac{-\pi }{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2} $ $\therefore du=\sqrt{2} cos\theta d\theta $ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{\sqrt{2} cos\theta }{2-2sin^22x} \,d\theta ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{\sqrt{2} cos\theta }{2cos^2\theta } \,d\theta ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\frac{\sqrt{2} }{2} \int_{}^{} sec\theta \,d\theta ]$ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|sec\theta +tan\theta |}{4} +C $ เพราะว่า $sec\theta =\frac{2}{\sqrt{2-u^2} } , tan\theta =\frac{u}{\sqrt{2-u^2} } $ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2-u}{\sqrt{2-u^2 }} |}{4} +C $ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2+u}{2-u} |}{8} +C $ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2+sin2x}{2-sin2x} |}{8} +C $ $=\int_{}^{}\frac{1}{1+\frac{sin^{4}x}{cos^{4}x} } \,dx $ $=\int_{}^{}\frac{cos^4x}{cos^{4}x+sin^{4}x} \,dx $ $=\int_{}^{}\frac{cos^4x}{(cos^{2}x+sin^{2}x)^2-2sin^2xcos^2x} \,dx $ $=\int_{}^{}\frac{2cos^4x}{2-sin^22x} \,dx $ $=\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{(1+cos2x)^2}{2-sin^22x} \,dx $ $=\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{cos^22x+2cos2x+1}{2-sin^22x} \,dx $ $=\frac{1}{2} [\int_{}^{}\frac{cos^22x}{2-sin^22x} \,dx +2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [\int_{}^{}\frac{1-sin^22x}{2-sin^22x} \,dx +2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}(1-\frac{1}{2-sin^22x} )\,dx +}+2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx +\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+2\int_{}^{}\frac{cos2x}{2-sin^22x} \,dx ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{1}{2-sin^22x} \,dsin2x ] ---(*)$ ให้ $u=sin2x ,$ และ $u=\sqrt{2} sin\theta $ ; $\frac{-\pi }{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2} $ $\therefore du=\sqrt{2} cos\theta d\theta $ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{\sqrt{2} cos\theta }{2-2sin^22x} \,d\theta ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\int_{}^{}\frac{\sqrt{2} cos\theta }{2cos^2\theta } \,d\theta ]$ $=\frac{1}{2} [{\int_{}^{}\,dx +}+\frac{\sqrt{2} }{2} \int_{}^{} sec\theta \,d\theta ]$ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|sec\theta +tan\theta |}{4} +C $ เพราะว่า $sec\theta =\frac{2}{\sqrt{2-u^2} } , tan\theta =\frac{u}{\sqrt{2-u^2} } $ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2-u}{\sqrt{2-u^2 }} |}{4} +C $ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2+u}{2-u} |}{8} +C $ $=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2} ln|\frac{2+sin2x}{2-sin2x} |}{8} +C $ จำนวนวิธีเรียงของ $n$ ชิ้น โดยมี $k$ ชนิด ชนิดที่ $i$ มีของ $a_i$ ชิ้น เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (ของชนิดเดียวกัน ถือว่าเหมือนกัน) เป็นวงกลม เท่ากับ $$\frac{1}{n}\sum_{d|h}\phi(d)\frac{(n/d)!}{\prod_{i = 1}^{k}(a_i/d)!}$$ เมื่อ $h=(a_1,a_2,\cdots,a_k)$ และ $\phi(d)$ คือ Totient function (หรืออีกในนามว่า phi function) เช่น มี A 3 ตัว B 2 ตัว C 3 ตัว จะมีวิธีเรียงเป็นวงกลมทั้งหมด $$\frac{1}{8}\sum_{d|1}\phi(d)\frac{(8/d)!}{\prod_{i = 1}^{3}(a_i/d)!} =\frac{1}{8}\left(\frac{8!}{3!2!3!}\right)=\frac{(8-1)!}{3!2!3!}$$ 
|
|
#3
22 พฤษภาคม 2010, 20:25
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
คำตอบเหมือนของผมเลยครับ แต่ว่าผมอ่านวิธีของคุณไม่เข้าใจอะครับ  ผมว่า ข้อนี้ มีวิธีทำง่ายๆนะครับ (ผมเห็นเพื่อนผมใช้การนับธรรมดา ก็ได้อะครับ) จริงๆ มันสมมูลกับข้อนี้ อะครับ โจทย์อีกข้อ ว่ามีกี่แบบอะครับ 
|
| |
|
|
