|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#196
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แบบนี้ได้รึเปล่าครับ ผมกำลังสงสัยว่ามันจะกลายเป็นงูกินหางรึเปล่า เพราะสูตรอนุพันธ์เราก็ต้อง derive มาจากลิมิตอีกที
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#197
|
||||
|
||||
อืม คำถามเรื่องงูกินหางของพี่ noonuii ผมก็เคยคิดมากรณี ใช้เทคนิคนี้ในการหาลิมิตของ $ \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} }$ แต่เลิกคิดไปแล้ว 55 ก็ไว้จะไปหาคนถามให้นะครับ แต่ข้อนี้เป็น $ \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sinh x}{x} }$ ซึ่งไม่เป็นงูกินหางล่ะมั้งครับ คิดว่าไม่น่าผิดพลาด
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#198
|
|||
|
|||
งั้นก็เฉลยเลยครับ เฉลยๆๆ
|
#199
|
||||
|
||||
เฉลยก็ทำแบบที่พี่ noonuii ทำนั่นแหละครับ จากนิยามของอนุพันธ์จะเห็นว่า
\[f'(0) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\] เมื่อให้ $f(x)=\sinh x $ ก็ตรงกะโจทย์พอดี
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#200
|
|||
|
|||
อ๋อ..เข้าใจละ ขอบคุณครับ
|
#201
|
|||
|
|||
ข้อ 61 ของคุณ Warut ถูกแล้วครับ ขอต่อข้อต่อไปนะครับ
62. Evaluate $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k{n \choose k} }$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#202
|
|||
|
|||
งง ว่าทำไมไม่มีใครตอบข้อนี้ โดยเฉพาะน้องๆมัธยม
ข้อ 62 ใช้แคลคูลัสพื้นฐานมากๆ น้องคนไหนว่างๆมาโชว์ความสามารถกันหน่อยนะค้าบ เดี๋ยวบอร์ดจะสงบเกินไป พิจารณา $ (1+x)^n $ และ differentiation
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#203
|
||||
|
||||
62.คงง่ายไปไม่มีใครมาทำ - -
$$(1+x)^n = {n\choose 0}x^0+{n\choose 1}x^1+...+{n\choose n}x^n$$ diff and Letting $ x=1 $ Edit: as a result to $ n\cdot 2^{n-1} $ 63. prove that $$x^x>\frac12\quad,\forall x>0$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 23 ธันวาคม 2006 12:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#204
|
|||
|
|||
ข้อ 62 ต้องเป็น $ n\cdot 2^{n-1} $ นะครับ (สงสัยจะรีบพิมพ์ไปหน่อย)
ข้อ 63 เพราะ $ f(x)= x\ln(x) $ เป็น convex function on $ (0,\infty) $ และมีค่าต่ำสุดที่ $ x= e^{-1} $ ดังนั้น $ x\ln(x) \geq e^{-1}\ln(e^{-1})=-\frac{1}{e} > -\frac{1}{2} \Rightarrow x^x >\frac{1}{\sqrt{e}}( >\frac{1}{2}) $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#205
|
|||
|
|||
62. diff แล้วทำไมได้ $n\cdot 2^n$ ล่ะครับ <-- คุณ passer - by มาแก้ให้แล้วครับ
63. ถ้า $x\geq 1$ แล้ว $x^x \geq 1 > \frac{1}{2}$ ถ้า $0<x<1$ แล้ว $\frac{1}{x^x} = \Big(\frac{1}{x}\Big)^x \cdot 1^{1-x}\leq x\cdot\frac{1}{x} + (1-x)\cdot 1 = 2 - x $ โดย Weighted AM-GM ดังนั้น $x^x \geq \frac{1}{2-x} > \frac{1}{2}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 24 พฤศจิกายน 2006 00:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#206
|
|||
|
|||
64. กำหนดให้ $P(x)=x^n+2x^{n-1}+\cdots +nx + n+1$ จงหาค่าของ
$$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k+1)}(0)}{k!}}$$ เมื่อ $P^{(k)}$ หมายถึง อนุพันธ์อันดับที่ $k$ ของ $P$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#207
|
||||
|
||||
อืมมม จิงด้วยครับ รีบทำแหะๆๆ แก้ตัวๆ
จากสูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ รอบจุด 0 \[ P(x) = P(0) + P'(0)x + \frac{P''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{n!!}x^{n} + \frac{P^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1}\] ดังนั้น \[ P'(x)= P'(0) + P''(0)x + \frac{P'''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \frac{P^{(n+1)}(0)}{n!}x^{n}\] จะได้ \[ P'(1) = P'(0) + P''(0) + \frac{P'''(0)}{2!} + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{(n-1)!} + \frac{P^{(n+1)}(0)}{n!}\] จะได้ว่า \[ P'(1) = 1\cdot n + 2(n-1) +3(n-2) + ... + n( n- (n-1)) = \sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k+1)}(0)}{k!} \] ดังนั้น \[\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k+1)}(0)}{k!} = \sum_{k=1}^{n} k(n-k+1) \] แล้วก็ใช้สูตรอนุกรมหาผลบวกออกมาจะได้ \[\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k+1)}(0)}{k!} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \] ปล. คำตอบนี้ก็ยังไม่ได้เช็คนะครับ ถ้าผิดอีกต้องขออภัยอีกรอบ แหะๆ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 29 พฤศจิกายน 2006 18:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#208
|
|||
|
|||
ข้อ 64 คิดว่ายังไม่ถูกครับ ลองแทน n=2 แล้วไม่ได้ตามสูตร
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#209
|
|||
|
|||
เพิ่งเห็นว่าน้อง Magpie มาแก้คำตอบแล้วครับ งั้นขอต่อข้อต่อไป ช่วงนี้เน้นเอกลักษณ์ binomial coefficients ครับ
65. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาค่าของ $$\sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k}(-1)^{n+k} k^n $$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 04 ธันวาคม 2006 02:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#210
|
|||
|
|||
ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด โจทย์ข้อ 65. ของคุณ nooonuii นี่เทียบเท่ากับการให้พิสูจน์ว่า $(n+1)^{\text{st}}$ forward difference ของ $f(x)=x^n$ มีค่าเป็น 0 (i.e., $ \Delta^{n+1} x^n =0$ ) ซึ่งผมไม่ทราบว่ามีวิธีง่ายๆที่จะพิสูจน์โดยใช้ calculus รึเปล่านะครับ
10 ธันวาคม 2006 23:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
|
|