โจทย์ปัญหาทฤษฎีจำนวน ช่วยหน่อยครับ.

[Siren-Of-Step]

1 กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $3k$ หรือ $3k+1$ สำหรับ $k$ บางจำนวน
2. กำลังสามของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $9k$ หรือ $9k+1$ หรือ $9k+1$ สำหรับ $k$ บางจำนวน
3. กำลังสี่ของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $5k$ หรือ $5k+1$ สำหรับ $k$ บางจำนวน
4. จงแสดงว่า จำนวนเต็มที่เขียนในรูป $6k+5$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็ม สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $3j+2$ ได้ สำหรับ $j$ บางจำนวน

[nooonuii]

1-3 ใช้วิธีเดียวกันทุกข้อ ลองทำตามนี้ครับ

จำนวนเต็มทุกจำนวนเมื่อหาร $3$ แล้วจะเหลือเศษ $0,1,2$

เมื่อนำมายกกำลังสองแล้วหารด้วย $3$ จะเหลือเศษ $0^2,1^2,2^2$

ส่วนข้อ 4 ตั้งสมการเอาเลยสิครับ แต่ต้องรู้ด้วยว่าเราต้องการ $j$ นะ

$6k+5=3j+2$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1 กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $3k$ หรือ $3k+1$ สำหรับ $k$ บางจำนวน
2. กำลังสามของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $9k$ หรือ $9k+1$ หรือ $9k+1$ สำหรับ $k$ บางจำนวน
3. กำลังสี่ของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $5k$ หรือ $5k+1$ สำหรับ $k$ บางจำนวน

3 ข้อ ผมใช้ mod หมดเลยอะครับ

ให้ $j$ แทนจำนวนเต็มใด ๆ
โดย
$j \equiv 1 \pmod{3} \Leftrightarrow j^2 \equiv 1 \pmod{3}$
$j^2 = 3k+1$ $\exists k$
$j \equiv 2 \pmod{3} \Leftrightarrow j^2 \equiv 1 \pmod{3}$
$j^2 = 3k+1$ $\exists k$
$j \equiv 3 \pmod{3}$
$j^2 = 3k $ $\exists k$

รวมทุกกรณีจะได้ว่า กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปของ $3k$ หรือ $3k+1$ สำหรับ $k$ บาง
จำนวน

ส่วนข้อที่เหลือก็ทำแบบนี้ใช่ปะครับ

[Siren-Of-Step]

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $a,b \in \mathbb{Z} $ โดยที่ $a>0$ แล้วจะมี $q,r \in \mathbb{Z} $ เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ $b=aq+r , 2a < r < 3a$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $a,b \in \mathbb{Z} $ โดยที่ $a>0$ แล้วจะมี $q,r \in \mathbb{Z} $ เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ $b=aq+r , 2a < r < 3a$

ข้อความนี้เป็นเท็จครับ.

สมมติให้ a = 10, b = -20

จากข้อความข้างต้น จะได้ว่าต้องมีจำนวนเต็ม q, r คู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้

-20 = 10q + r โดยที่ 20 < r < 30

แสดงว่า $q = \frac{-20-r}{10}$

เห็นได้ชัดว่า ไม่ว่า r = 21, 22, ... , 29 ก็ไม่ทำให้ q เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้นข้อความข้างต้นจึงเป็นเท็จครับ.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $a,b \in \mathbb{Z} $ โดยที่ $a>0$ แล้วจะมี $q,r \in \mathbb{Z} $ เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ $b=aq+r , 2a < r < 3a$

ต้องเปลี่ยนเงื่อนไขเป็น $2a\leq r<3a$ ครับ

ใช้ division algorithm ระหว่าง $b-2a$ และ $a$ ทีเดียวจบ

[Siren-Of-Step]

ลอง ทำ ต้น ๆ ให้ดูหน่อยครับ

[Onasdi]

มี $q,r \in \mathbb{Z} $ เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ $b=aq+r , 2a \le r < 3a$
ก็ต่อเมื่อ มี $q,r \in \mathbb{Z} $ เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ $b=a(q+2)+(r-2a) , 0 \le r-2a < a$
ก็ต่อเมื่อ มี $q',r' \in \mathbb{Z} $ เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ $b=aq'+r' , 0 \le r' < a$

เข้าใจไหมครับ

[servertoday]

อืม... ละเอียดดีครับ