|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Strange Eigenvalue Problem
หายไปนานเลยครับ กลับมาพร้อมโจทย์อีกแล้วครับ
กำหนดให้ $A_{ij}=\lambda\delta_{ij}+\mu\frac{x_ix_j}{\|x\|^2}\,\,$ โดย $\lambda,\mu$ เป็นจำนวนจริง $\,\,\delta_{ij}$ แทน Kronecker delta function $\,\,$และ $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ จงพิสูจน์ว่าเมตริกซ์ $(A_{ij})_{n\times n}$ มี eigenvalues คือ $\lambda$ with multiplicity $n-1\,\,$ และ $\lambda+\mu$ with multiplicity 1 ($\|x\|^2=\sum_{i=1}^nx_i^2$)
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE 27 สิงหาคม 2006 13:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ sompong2479 |
#2
|
||||
|
||||
โห เป็นโจทย์ที่สนุกสนานพอสมควรทีเดียวครับ ใช้พลังในการเขียนมากทีเดียว
ให้ \[ A = \bmatrix{ \lambda + \mu \frac{x_1^2}{\| x \|^2} & \mu \frac{x_1x_2}{ \| x \|^2} & \mu \frac{x_1 x_3}{\| x \|^2 } & ... & \mu \frac{x_1 x_n}{ \| x \|^2} \\ \mu \frac{x_2x_1}{\| x \|^2} & \lambda + \mu \frac{x_2^2}{ \| x \|^2} & \mu \frac{x_2 x_3}{\| x \|^2 } & ... & \mu \frac{x_2 x_n}{ \| x \|^2} \\ \mu \frac{x_3x_1}{\| x \|^2} &\mu \frac{x_3x_2}{ \| x \|^2} & \lambda + \mu \frac{x_3^2 }{\| x \|^2 } & ... & \mu \frac{x_3 x_n}{ \| x \|^2} \\ . & . & . & ... & . \\ . & . & . & ... & . \\ . & . & . & ... & . \\ \mu \frac{x_nx_1}{\| x \|^2} & \mu \frac{x_nx_2}{ \| x \|^2} & \mu \frac{x_n x_3}{\| x \|^2 } & ... &\lambda + \mu \frac{x_n ^2}{ \| x \|^2} }\] ลองพยายามคูณดูครับ จะพบว่า \( x=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)^T \in \mathbb{R}^n \) \[ Ax =(\lambda +\mu)x \] นั่นคือ \(\;\; \lambda + \mu \;\;\)เป็น eigenvalue ตัวหนึ่งของ A ต่อไปจะใช้สมบัติที่ว่า \( tr(A) = \sum_{i=1}^{n} s_i \) โดยที่ \( s_i\) เป็น eigenvalue ของ A ก็จะได้ว่า \[ tr(A) = n \lambda +\mu = (s_1+s_2+s_3+...+s_{n-1}) + \lambda +\mu \rightarrow s_1+s_2+s_3+...+s_{n-1} = (n-1) \lambda \] ก็สามารถสรุปได้ตามที่โจทย์ต้องการ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 27 สิงหาคม 2006 18:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#3
|
|||
|
|||
How can you conclude that $s_1,s_2,...,s_{n-1}$ are all equal?
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
ผมก็มองเอาเลยว่า \( s_1=s_2=s_3=... = s_{n-1}=\lambda \; \; \) then satisfiy \( tr(A) = \sum_{i=1}^n s_i \)
จึงเป็นการเพียงพอที่จะสรุปว่าจริง รึเปล่าครับ???
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#5
|
|||
|
|||
เหนือชั้นจริงๆครับ คุณ m@gpie ผมพยายามตั้งนานยังมองไม่ออกเลยครับ ว่า $\lambda+\mu$ มี eigenvector ตัวนั้น สุดยอด
เอแต่ตรงที่ $\sum_1^{n-1}s_i=(n-1)\lambda$ ผมว่าไม่น่าจะสรุปได้นะครับ ว่าต้องได้ $s_1=\ldots=s_{n-1}$ เพราะอาจจะเป็นแบบอื่นๆได้อีกเยอะเลยครับ
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE |
#6
|
|||
|
|||
แฮะๆๆๆได้แล้วละครับ ทำคล้ายๆกับวิธีของคุณ m@gpie เลยหละครับ
ให้ $v=(t_1,\ldots,t_n)^T$ เป็น เวกเตอร์ซึ่ง $\sum_{i=1}^nt_ix_i=0$ ดังนั้นจะได้ \[ [A\cdot v]_i=\sum_{j=1}^nA_{ij}t_j=\lambda t_i\Longrightarrow A\cdot v=\lambda v \] นั่นคือ $v$ เป็น eigenvector with eigenvalue $\lambda$ ทีนี้มันมี $v$ ดังกล่าวได้ทั้งหมด $n-1$ อันที่ linearly independent กัน
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE 29 สิงหาคม 2006 05:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ sompong2479 |
#7
|
||||
|
||||
ไม่ขนาดนั้นหรอกครับ ข้อสรุปที่ว่า \( \lambda \) ซ้ำกัน ของผมยังมีข้อผิดพลาด อิอิ แต่ก็คิดออกแล้วก็ดีแล้วครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
LQR Problem | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 24 กันยายน 2006 16:50 |
minimum eigenvalue & concavity | sompong2479 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 5 | 22 กุมภาพันธ์ 2006 21:28 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 2: Log Problem | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 8 | 16 มกราคม 2006 05:04 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 4: Another Log Problem | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 16 มกราคม 2006 01:30 |
set problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 11 เมษายน 2005 02:06 |
|
|