|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#136
|
|||
|
|||
สองข้อนี้มีอสมการโคชีเข้าไปร่วมด้วยแต่สามารถใช้อสมการอื่นก็ได้
โดยเฉพาะข้อ 49 ผมมีอยู่สามวิธี $a,b,c>0$ 48. ถ้า $a+b+c=6$ แล้ว $$\dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+\sqrt{c+a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$$ 49. $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{ b}+\dfrac{a}{c}\Big)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#137
|
||||
|
||||
ร่วมด้วยช่วยกัน
50.$x,y,z\in\mathbb{R}$ โดยที่ $-\frac{\sqrt{2}}{2}\not\in${x+y,y+z,z+x} $$\sum_{cyc}\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \dfrac{3}{4}$$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
02 มีนาคม 2009 07:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tatari/nightmare |
#138
|
|||
|
|||
48.พิจารณา $\displaystyle\sqrt{b+c}=\frac{1}{2}\sqrt{4(b+c)}\leq\frac{4+b+c}{4}=\frac{10-a}{4}$
$\therefore\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}\geq\frac{1}{\sqrt{a+\frac{10-a}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{10+3a}}$ ดังนั้น $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}\geq\sum_{cyc}\frac{2}{\sqrt{10+3a}}$ ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $\left(0,6\right)$ ไปยังเซตของจำนวนจริง นิยามโดย $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{10+3x}}$ จาก $\displaystyle f''(x)=\frac{27}{4(10+3x)^\frac{5}{2}}\geq 0$ ดังนั้น จากอสมการ Jensen ได้ว่า $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{2}{\sqrt{10+3a}}\geq 3\frac{2}{\sqrt{10+3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}}$ $\displaystyle =\frac{6}{\sqrt{16}}=\frac{3}{2}$ $\displaystyle\therefore\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}\geq\frac{3}{2}$ ตามต้องการ 49.กระจายอสมการ ได้ว่าอสมการสมมูลกับ $\displaystyle3+\sum_{sym}\frac{a}{b}\leq3+\sum_{cyc}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}\right)$ พิจารณา $\displaystyle\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}+1\geq 3\frac{a}{c}$ ($\because$ AM-GM) จะได้ว่า $\displaystyle\sum_{sym}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}+1\right)\geq 3\sum_{sym}\frac{a}{c}$ นั่นคือ $\displaystyle3+\sum_{cyc}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}\right)\geq\frac{3}{2}\sum_{sym}\frac{a}{c}$ แต่จาก $\displaystyle\sum_{sym}\frac{a}{c}\geq6$ (สามารถแสดงได้โดย AM-GM) $\displaystyle\therefore3+\sum_{cyc}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}\right)\geq\frac{3}{2}\sum_{sym}\frac{a}{c}\geq\sum_{sym} \frac{a}{b}+\frac{1}{2}(6)=\sum_{sym}\frac{a}{b}+3$ ดังนั้น $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})\leq(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 07 มีนาคม 2009 22:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 เหตุผล: พิมพ์ผิด |
#139
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
48. Cauchy; $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq\sqrt{6(a+b+c)}=6$ Cauchy; $\sqrt{a+\sqrt{b+c}}+\sqrt{b+\sqrt{c+a}}+\sqrt{c+\sqrt{a+b}}\leq \sqrt{3(a+b+c+\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})}\leq 6$ AM-HM; $LHS\geq\dfrac{9}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}+\sqrt{b+\sqrt{c+a}}+\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$ 49. ให้ $x=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ $y=\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ จะได้อสมการสมมูลกับ $3+x+y\leq xy$ $(x-1)(y-1)\geq 4$ ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $x\geq 3,y\geq 3$ ใช้อสมการจาก Iran 2005 $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)^2$ ในทำนองเดียวกัน $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)^2$ คูณทั้งสองอสมการจะได้อสมการที่ต้องการ ใช้อสมการโคชีล้วนๆ $a+b+c=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\cdot\sqrt{ab}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}\cdot\sqrt{bc}+\sqrt{\dfrac{c}{a}}\cdot\sqrt{ca}$ $~~~~~~~~~~~\leq\sqrt{\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)(ab+bc+ca)}$ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\sqrt{\dfrac{b}{a}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{bc} }+ \sqrt{\dfrac{a}{c}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ca}}$ $~~~~~~~~~~~~~\leq\sqrt{\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)}$ ดังนั้น $(a+b+c)^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2\leq \Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+ \dfrac{a}{c}\Big)(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$ แต่ว่า $(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)=(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$ ดังนั้นเราได้อสมการที่ต้องการ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 08 มีนาคม 2009 05:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#140
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \frac{1}{4}$ ก็ต่อเมื่อ $3+2x^2+2y^2+4x^2y^2\geq 2\sqrt{2} (x+y) +4xy$ ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ Am-Gm $(2x^2+1)+(2y^2+1)+(4x^2y^2+1)\geq 2\sqrt{2} (x+y) +4xy$ จบการพิสูจน์
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#141
|
|||
|
|||
เอาโจทย์มาเพิ่ม...
$a,b,c\geq 0$ $a+b+c=3$ $\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$
__________________
Silver Medal POSN 6th TMO |
#142
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{6a-6}{a^2+3}<1$ $\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2}{a^2+3}>2$ จากอสมการโคชีได้ว่า $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2}{a^2+3}\geq\frac{4(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+9}=\frac{18+2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)}{9+a^2+b^2+c^2}=2+\frac{4(ab+bc+ca )}{9+a^2+b^2+c^2}$ หาก $ab+bc+ca=0$ ก็ต่อเมื่อมีอย่างน้อยสองตัวจาก $a,b,c$ ที่เท่ากับ 0 ซึ่งจะทำให้ $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}=-\frac{1}{2}<\frac{1}{6}$ หาก $ab+bc+ca>0$ ดังนั้น $\displaystyle2+\frac{4(ab+bc+ca)}{9+a^2+b^2+c^2}>2$ จากทั้ง 2 กรณี ดังนั้น $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$ ตามต้องการ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
#143
|
||||
|
||||
ถามอะไรหน่อยได้ไหมครับ
เรื่องของอสมการพวก Cauchy,Chebybhev ... นะครับ ไปหาเรียนกันที่ไหนเหรอครับ หรือว่าเก่งกันเอง..... |
#144
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แต่ถ้าเป็นเด็กๆเขาจะได้เรียนในค่ายเสริมทักษะคณิตศาสตร์ต่างๆ อย่างเช่น สอวน. สสวท. ฯลฯ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#145
|
||||
|
||||
มาเติมโจทย์ให้ครับ
51. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $36\sum_{cyc}(a^2+b^2)^2+2(a^2+b^2+c^2)+24 \geq \sum_{cyc}(6ab+a)^2+\sum_{cyc}(6ab+b)^2$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#146
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#147
|
||||
|
||||
น่าจะผิดครับ
ผมหมายถึง ท่าน nooonuii คงพิมพ์ผิดครับ |
#148
|
||||
|
||||
ผมนึกไม่ออกจริง ๆ ครับ ว่า ถ้า $a\leqslant b$ แล้ว $-b\leqslant-a$ ทำไมถึงผิด
รบกวนผู้รู้ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ |
#149
|
||||
|
||||
#148
ลองดูที่ข้อความผมดีๆครับ ลองกดลากตรงบรรทัดล่างดูครับ แล้วจะ... oh my god. |
#150
|
||||
|
||||
Oh! มันเป็นเช่นนี้เอง
|
|
|