โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ปล.คุณ nooonuii ของ hint ข้อ 19 หน่อยครับ ผมทำแบบนี้ไม่ค่อบเป็น

ผมใช้ majorization theorem คงมีวิธีที่ไม่ต้องใช้วิธีนี้ก็ได้แต่ยังไม่ได้ลองคิดครับ

[LightLucifer]

มันคืออะไรอ่ะครับ ไม่เคยได้ยินเลย

ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

มันคืออะไรอ่ะครับ ไม่เคยได้ยินเลย

ช่วยชี้แนะด้วยครับ

ถ้าบอกว่ามันคือ Karamata's inequality ล่ะครับ

ใช้สมบัติที่ว่า ค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันนูน และ ถ้า $a+b+c=0$

แล้วลองหาชุดจำนวนที่ majorize $(a,b,c)$ ดูครับ

ง่ายๆไม่ต้องคิดลึก

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าบอกว่ามันคือ Karamata's inequality ล่ะครับ

ใช้สมบัติที่ว่า ค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันนูน และ ถ้า $a+b+c=0$

แล้วลองหาขุดจำนวนที่ majorize $(a,b,c)$ ดูครับ

ง่ายๆไม่ต้องคิดลึก

ผมยังไม่ค่อย get เท่าไหร่อ่ะครับ ทำไม ค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันนูน อ่ะครับ
วิธีนี้เป็นวิธีใหม่สำหรับผมเลย ต้องขอบคุณมากครับที่ช่วยสอน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

19. $a,b,c\in [-1,1]$ โดยที่ $a+b+c=0$ จงหาค่าสูงสุดของ $|a|+|b|+|c|$

ผมหาวิธีที่อื่นได้แล้วครับ (แต่อยากรู้วิธีของคุณ nooonuii ไว้เป็นประสบการณ์ด้วย)

MY SOLUTION

$a+b+c=0 \rightarrow c=-(a+b) \rightarrow |a|+|b|+|c|=|a|+|b|+|a+b|$

Case 1 $ab>0$
จะได้ $|a|+|b|=|a+b|$
$|a|+|b|+|a+b|=2|a+b|=2|c| \le 2$

Case 2 $ab \le 0$
จะได้ว่า $|ab|=-ab$
และจาก $a,b\in [-1,1]$ จะได้
$0 \le (1-|a|)(1-|b|)=1-|a|-|b|+|ab|$
$|a|+|b| \le 1+|ab|$
$|a|+|b|+|a+b| \le 1+|a+b|+|ab|$
ถ้า $|a+b|=-a-b$
$1+|a+b|+|ab|=1-a-b-ab \le 2 \leftrightarrow 0\le 1+a+b+ab \leftrightarrow 0\le (1+a)(1+b)$
ซึ่งเป็นจริงเพราะ $a,b\in [-1,1]$
$1+|a+b|+ab=1+a+b-ab \le 2 \leftrightarrow 0\le 1-a-b+ab \leftrightarrow 0 \le (1-a)(1-b)$
ซึ่งเป็นจริงเพราะ $a,b\in [-1,1]$

$\therefore |a|+|b|+|c| = |a|+|b|+|a+b| \le 2$ โดยที่ $a=1,b=-1,c=0$ ทำให้อสมการเป็นสมการ

ส่วนนี่เป็นข้อที่ยังไม่มี Solution นะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

5. $a,r,s>0,r\geq s$

$\dfrac{a^r-1}{r}\geq\dfrac{a^s-1}{s}$

14. $\sqrt[200]{3}>\sqrt[298]{5}$
18. $a,b,c>0$ อสมการต่อไปนี้เป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งอสมการ

$a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ให้ $1\le a,b,c \le2$ จงพิสูจน์ว่า
$$4(a^2+b^2+c^2) < 5(ab+bc+ca)$$
Let $a,b,c \in \mathbb{R} $
Prove that
$$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$

[จูกัดเหลียง]

14. $\sqrt[200]{3}>\sqrt[298]{5}$
ถ้า ผมตอบเเบบนี้จะเกรียนไปรึเปล่า
$\Leftrightarrow 1.49>log_3 5 =1.464973521$
ซึ่งเป็นจริงโดยเครื่องคิดเลข

[จูกัดเหลียง]

ข้อ 5 ก็ทำไปเเล้วอ่ะครับ หรือว่าผิด 555+

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

my_soln

กรณี $a\geqslant 1$ ให้ $r=s+n$
จะได้ว่า อสมการสมมูลกับ $a^s(sa^n-r)\geqslant s-r$
กรณี $0<a<1$ จะได้ $a^r\leqslant a^s$
$$\Rightarrow \frac{a^{r-1}+a^{r-2}+...+1}{r}\leqslant \frac{a^{s-1}+a^{s-2}+...+1}{r} \leqslant \frac{a^{s-1}+a^{s-2}+...+1}{s}$$
$$\Rightarrow \dfrac{a^r-1}{r}\geq\dfrac{a^s-1}{s}$$

[LightLucifer]

ขอโทษทีครับ ผมตาถั่วเอง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมยังไม่ค่อย get เท่าไหร่อ่ะครับ ทำไม ค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันนูน อ่ะครับ
วิธีนี้เป็นวิธีใหม่สำหรับผมเลย ต้องขอบคุณมากครับที่ช่วยสอน

ผมหาวิธีที่อื่นได้แล้วครับ (แต่อยากรู้วิธีของคุณ nooonuii ไว้เป็นประสบการณ์ด้วย)

พิสูจน์ผ่านทางนิยามของฟังก์ชันนูนและ triangle inequality ครับ

ถ้า $a,b,c\in [-1,1],a+b+c=0$ แล้วเราจะได้ว่า

$(a,b,c) \preceq (1,0,-1)$

ดังนั้นโดย Karamata's inequality จะได้ทันทีว่า

$|a|+|b|+|c|\leq |1|+|0|+|-1|=2$

[Amankris]

#141

$r,s$ ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มนี่ครับ

[LightLucifer]

#143
อ่อ ไม่นึกเลยว่าจะ majorize แบบนี้
ขอบคุณมากครับ

ปล. ข้อ 5 ใน #139 คุณ nooonuii hint ไว้ว่าใช้ Bernulli นะครับ เผื่อจะเป็นประโยชน์บ้าง

[จูกัดเหลียง]

ให้ $1\le a,b,c \le2$ จงพิสูจน์ว่า
$$4(a^2+b^2+c^2)\le5(ab+bc+ca)$$

คือ ผมอยากพิสูจน์ ตรง $...(*)$ อ่ะครับเเต่ทำไม่ได้สักที ช่วยชี้เเนะด้วยครับ

my_soln

WLOG $a\ge b\ge c$
then $\frac{b+c}{a}\leq \frac{c+a}{b}\leq \frac{a+b}{c}$
and $a(b+c)\ge b(c+a)\ge c(a+b)$
by Chebyshev's
$$\Rightarrow \sum_{cyc} a(b+c)\times \frac{b+c}{a}\leq \frac{1}{3}(2\sum_{cyc} ab)(\sum_{cyc} \frac{b+c}{a})$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^2\leq (\frac{1}{3} \sum_{cyc} \frac{b+c}{a}-1)\sum_{cyc} ab$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{b+c}{a}\leq \frac{27}{4}...(*)$$

ซึ่งผมหาได้ว่าเมื่อ $a=2,b=\frac{4}{3},c=1$ เเล้วจะทำให้สมการเป็นจริง เเต่พิสูจน์ไม่ได้อ่ะครับ

ปล. #144 หมายถึงยังไงอ่ะครับ ไม่เข้าใจ

[BLACK-Dragon]

ให้ $1\le a,b,c \le2$ จงพิสูจน์ว่า
$$4(a^2+b^2+c^2)\le5(ab+bc+ca)$$

ไม่รู้ได้ไหมนะครับ

$4(a^2+b^2+c^2)\le5(ab+bc+ca)$

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\leqslant \frac{5}{4}$

$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}\leqslant \frac{5}{4}$

$1\leqslant \frac{5}{4}$

แต่เงื่อนไข $1\leqslant a,b,c\leqslant 2$ ไม่ได้ใช้เลย

[LightLucifer]

#146
วิธีของผมมันไม่ใช่แบบนั้นอ่ะครับ แล้วก็ผมลองกลับไปเช็คใหม่แล้วครับ ว่าไม่มีจุที่อสมการเป็นสมการ ต้องขอโทษด้วยที่ไม่เช็คให้ดี
#147
ไม่ได้ครับ

HINT

พิจรณาช่วงค่าของ $\frac{a}{b}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ไม่รู้ได้ไหมนะครับ

$4(a^2+b^2+c^2)\le5(ab+bc+ca)$

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\leqslant \frac{5}{4}$

$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}\leqslant \frac{5}{4}$

$1\leqslant \frac{5}{4}$

แต่เงื่อนไข $1\leqslant a,b,c\leqslant 2$ ไม่ได้ใช้เลย

เขาเรียกกันว่า วิธีเกรียนป่าวครับ
เเล้ว #148 Hint ให้ใครเหรอครับ 555
เเต่ว่าผมลองคิดเเล้ว ว่าอย่างเช่น $\frac{a}{b}\leq 2$ เเล้วพอจับมาบวกๆกัน มันก็เกิน$\frac{27}{4}$ เเต่ใจจริงก็คิดว่ามันน่าจะยังเป็นจริงอยู่ดี

[LightLucifer]

$\frac{1}{2} \le \frac{a}{b} \le 2$
เท่านี้น่าจะลองต่อเองได้นะครับ ^^