|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#181
|
|||
|
|||
ฟังก์ชันนี้ไม่ convex ครับ
ลืมไปว่าวิธีที่ผมใช้ต้องสมมติว่า $A,B,C$ เป็นมุมแหลมด้วยครับ แล้วก็ใช้ $f(x)=\sin{x}$ เป็น concave function บน $[0,\pi]$ แต่สำหรับกรณีทั่วไปลองพิสูจน์ว่า $\dfrac{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}}=\dfrac{R}{2r}$ แล้วก็ใช้ $R\geq 2r$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#182
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$(*) \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=2\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}=\frac{2\Delta}{bc}$ $(**) \Delta =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$ กำหนด $R$ เเทนรัศมีวงกลมที่ ล้อมรอบ $\Delta$ และ $r$ เเทนรัศทีของวงกลมเเนบมน $\Delta$ $a,b,c$ เเทน ความยาวด้านของด้านตรงข้ามมุม ของ มุม $A,B,C$ ตามลำดับ จะได้ $$\frac{R}{2r}=\frac{abc(a+b+c)}{16\Delta^2}$$ เเละ จาก $(*)$ จะได้ $\sin A+\sin B+\sin C=\frac{2\Delta(a+b+c)}{abc}$ นั่นคือ เราต้องการพิสจน์ $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2}$ พิจารณา จากกฎของ Cosine เเละ $(*)$ $$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=2(\frac{2\Delta}{bc}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{2\Delta}{ca}\cdot\frac{c^2+a^2-c^2}{2ca}+\frac{2\Delta}{ab}\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})$$ $$=\frac{2\Delta}{a^2b^2c^2}(2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4))=\frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2}$$ จากนั้น $$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}=\frac{R}{2r}\ge 1$$ โดย Euler's Formular ปล. เเล้ว Diff ฟังก์ชัน ตรีโกณอย่างไรครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#183
|
|||
|
|||
ถ้าจะฝึก diff ลองหาหนังสือแคลคูลัสมาอ่านเลยครับ
จะได้ประโยชน์มากขึ้น ยังไงก็ต้องได้ใช้ึีครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#184
|
||||
|
||||
จริงๆ ผมซื้อมาเล่มนึงครับ ของ รศ.คนนี้หละครับ
เเต่ไม่ค่อยเข้าใจเลย 555+
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#185
|
||||
|
||||
ตั้งโจทย์ต่อเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#186
|
|||
|
|||
26. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าสูงสุดของ
$\min\{a-b^2,b-c^2,c-d^2,d-a^2\}$ 27. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $a+b+c=0$ จงพิสูจน์ว่า $|a|+|b|+|c|\leq |a-|b-c||+|b-|c-a||+|c-|a-b||$ 28. ให้ $0<a<1$ จงพิสูจน์ว่า $a+a^{-a}<2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#187
|
||||
|
||||
ลองมั่วดูก่อน 555+
$$a+a^{-a}<2 \Leftrightarrow a^{a+1}+1<2a^a$$ $$\Leftrightarrow a^a(a-2)+1<1(-1)+1=0$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#188
|
||||
|
||||
คืออะไรเหรอครับ ไม่เข้าใจ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#189
|
|||
|
|||
หาค่าสูงสุดของค่าน้อยสุดระหว่างสี่เทอมนั้นครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#190
|
||||
|
||||
เเล้วทำยังเหรอครับ
ปล. ลองมั่วๆดู ก่อนนะครับ WLOG $a\ge b\ge c\ge d \rightarrow d-a^2 $ เป็นค่าที่น้อยที่สุด $d\leq a\leq a^2$ เมื่อ $a\ge 1 $ หรือ $ a\leq 0$ ให้ค่าที่มากที่สุดของค่าน้อยสุดระหว่าง 4 ตัวนั้นคือ $0$ เเต่ผมว่าถ้า $a,b,c,d\in [0,1]$ น่าจะให้ค่าที่มากกว่าได้ เเต่ทำไม่เป็นครับ ช่วยชี้เเนะด้วยนะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#191
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมเขียนไม่ค่อยละเอียดนี้อาจจะเรียกว่า Hint ก็ได้นะครับ (ขี้เกียจเขียนเต็ม ) เราจะพิสูจน์ว่า คำตอบคือ $\frac{1}{4}$ ซึ่งได้ จากการที่ให้ทุกตัวเป็น $\frac{1}{2}$ ขั้นที่ 1 พิจารณากรณีที่ มีอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นลบ -->trivial !! ขั้นที่ 2 พิจารณากรณีที่ min{a,b,c,d}>=1 ขั้นที่ 3 พิจารณากรณีที่ มีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่น้อยกว่า 1 (คร่าวๆนะ) ขั้นที่ 4 ทุกตัวอยู่ในเซต [0,1] ใช้อสมการธรรมดาช่วยและจัดรูปนิดหน่อย |
#192
|
||||
|
||||
ลอง เขียน Soln มาเลยดีกว่าครับ
ผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจ เพราะ ผมทำหลายรอบเเล้วมันยังได้เป็น $0$ อีก หรือผมจะสมมุติว่า $a=b=c=d$ จะได้ค่าสูงสุด
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#193
|
||||
|
||||
#187
บรรทัดสุดท้าย เช็คหน่อยครับ |
#194
|
||||
|
||||
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#195
|
||||
|
||||
#194
มายังไงอธิบายหน่อย |
|
|