Marathon - มัธยมต้น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

1.จงหาเศษจากการหาร 111...1 (มี1อยู่2008ตัวครับ) ด้วย41

ลองมองหารูปแบบการวนซ้ำของเศษเหลือครับ หรือจะทำออกมาตรงๆแบบนี้ก็ได้

$\underbrace{11\cdots 111}_{2008} =11111(10000100001\cdots 100001000)+111$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

1.จงหาเศษจากการหาร 111...1 (มี1อยู่2008ตัวครับ) ด้วย41

เอาแบบง่ายๆก็ได้ครับ ตัวหารเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว ก็ลองตั้งหารดูเลยครับ

$\because \frac{1}{41} \ \ $ เหลือเศษ 1

$\because \frac{11}{41} \ \ $ เหลือเศษ 11

$\because \frac{111}{41} \ \ $ เหลือเศษ 29

$\because \frac{1111}{41} \ \ $ เหลือเศษ 4

$\because \frac{11111}{41} \ \ $ เหลือเศษ 0

$\because \frac{111111}{41} \ \ $ เหลือเศษ 1

$\because \frac{1111111}{41} \ \ $ เหลือเศษ 11

.
.
.

วน 5 รอบ

2008 หารด้วย 5 เหลือเศษ 3 ตรงกับหมายเลข 29

ตอบ เหลือเศษ 29

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

2.$\frac{1}{2(0!)}+\frac{1}{3(1!)}+...+\frac{1}{n((n-3)!)}=\frac{a}{b}$
จงหาค่าของ $b-a$ เมื่อ $\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

โจทย์ข้อนี้เป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ

2.$\frac{1}{2(0!)}+\frac{1}{3(1!)}+...+\frac{1}{n((n-\color{red}{2})!)}=\frac{a}{b}$
จงหาค่าของ $b-a$ เมื่อ $\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$\frac{1}{2(0!)}+\frac{1}{3(1!)}+\frac{1}{4(2!)} +\frac{1}{5(3!)}+ ...+\frac{1}{n((n-\color{red}{2})!)}$

$ = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3\cdot2(1!)} +\frac{3}{4\cdot3(2!)} + \frac{4}{5\cdot4(3!)} +... +\frac{n-1}{n!}$

$ = \frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!} + .... + \frac{n-1}{n!}$ ...(*)




$ \because \ \ \frac{n-1}{n!}=\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}=\frac{n}{n(n-1)!}-\frac{1}{n!} =\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!} $



$\therefore \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}
=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}
=1-\frac{1}{n!}=\frac{n!-1}{n!} $



ก็จะได้ $\frac{1}{2(0!)}+\frac{1}{3(1!)}+\frac{1}{4(2!)} +\frac{1}{5(3!)}+ ...+\frac{1}{n((n-\color{red}{2})!)} = \frac{n!-1}{n!} = \frac{a}{b}$

$b-a = (n!) - (n!-1) = 1$

[Siren-Of-Step]

ขอลงทีเดียวเลยนะครับ
1. จงหาค่าของ $tan25tan70 - tan70 + tan25$
2. กำหนดให้ $g(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ เศษเหลือจากการหาร $g(x^{12})$ ด้วย $g(x)$ คือ
3. ให้ (a,b,c) เป็นจำนวนจริงในระแบบสมการ $x^3-xyz = 2 ,y^3-xyz = 6 ,z^3-xyz = 20$ โดยนำค่า $x^3+y^3+z^3$น้อยที่สุด มาเขียนในรูป $\frac{m}{n}$ โดย $n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด จงหา $m+n$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ขอลงทีเดียวเลยนะครับ
1. จงหาค่าของ $tan25tan70 - tan70 + tan25$

$\tan 25^\circ \tan 70^\circ - \tan 70^\circ + \tan 25^\circ $

$=\tan 25^\circ \tan (45+25)^\circ -\tan (45+25)^\circ +\tan 25^\circ$

$=\tan 25^\circ (\frac{1+\tan 25^\circ }{1-\tan 25^\circ } )-(\frac{1+\tan 25^\circ }{1-\tan 25^\circ } )+\tan 25^\circ$

$=\frac{(\tan 25^\circ -1)(\tan 25^\circ +1)}{-(\tan 25^\circ -1)}+tan 25^\circ $

$=-\tan 25^\circ -1+\tan 25^\circ $

$=-1$

[tongkub]

ข้อ 1 อีกวิธีครับ

$tan( 70 - 25 ) = \frac{tan70 - tan25}{1 + tan70tan25}$
$1 = \frac{tan70 - tan25}{1+ tan70tan25}$
$( 1 + tan70tan25) = tan 70 - tan 25$

$tan70tan25 - tan70 + tan25 = -1$

[Siren-Of-Step]

เชิญสนุกกับข้อที่เหลือครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ขอลงทีเดียวเลยนะครับ

2. กำหนดให้ $g(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ เศษเหลือจากการหาร $g(x^{12})$ ด้วย $g(x)$ คือ

$g(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

ถ้าเราเอา $(x-1)$ คูณ ก็จะได้ $(x-1)g(x) = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = x^6-1$


จากโจทย์ $\ \ g(x^{12}) = x^{60}+x^{48}+x^{36}+x^{24}+x^{12}+1$

แปลงร่างเป็น $\ \ g(x^{12}) = (x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)+1 +5$

จะทำให้ แต่ละพจน์คือ $(x^{60}-1), \ (x^{48}-1), \ (x^{36}-1), \ (x^{24}-1), \ (x^{12}-1) \ \ $ หารด้วย $(x^6-1)$ลงตัว

สมมุติหารแล้วได้ผลลัพธ์เป็น $A$ ก็จะได้ว่า

$\ \ g(x^{12}) = (x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)+6 = A \cdot (x^6-1)+6 = A \cdot (x-1)g(x) + 6$


ดังนั้น เศษเหลือจากการหาร $g(x^{12})$ ด้วย $g(x)$ คือ 6

เล่นง่ายๆแบบนี้แหละ

[Xx GAMMA xX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

โจทย์ข้อนี้เป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ




$\frac{1}{2(0!)}+\frac{1}{3(1!)}+\frac{1}{4(2!)} +\frac{1}{5(3!)}+ ...+\frac{1}{n((n-\color{red}{2})!)}$

$ = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3\cdot2(1!)} +\frac{3}{4\cdot3(2!)} + \frac{4}{5\cdot4(3!)} +... +\frac{n-1}{n!}$

$ = \frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!} + .... + \frac{n-1}{n!}$ ...(*)

$ \because \ \ \frac{n-1}{n!}=\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}=\frac{n}{n(n-1)!}-\frac{1}{n!} =\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!} $



$\therefore \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}
=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}
=1-\frac{1}{n!}=\frac{n!-1}{n!} $



ก็จะได้ $\frac{1}{2(0!)}+\frac{1}{3(1!)}+\frac{1}{4(2!)} +\frac{1}{5(3!)}+ ...+\frac{1}{n((n-\color{red}{2})!)} = \frac{n!-1}{n!} = \frac{a}{b}$

$b-a = (n!) - (n!-1) = 1$

ขอโทษด้วยครับคุณbankerผมผิดไปแล้วคร้บ
คุณbankerทำวิธีได้ดีมากเลยครับ

ปล.แก้ให้แล้วนะครับเผื่อคนเข้ามาอ่านจะได้ไม่เสียเวลาคิด

[Siren-Of-Step]

เหลืออีกข้อครับ เชิญโซ้ยเลยครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ขอลงทีเดียวเลยนะครับ
3. ให้ (a,b,c) เป็นจำนวนจริงในระแบบสมการ $x^3-xyz = 2 ,y^3-xyz = 6 ,z^3-xyz = 20$ โดยนำค่า $x^3+y^3+z^3$น้อยที่สุด มาเขียนในรูป $\frac{m}{n}$ โดย $n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด จงหา $m+n$

ให้$xyz=a$
$x^3-xyz=2$ ได้ $x^3=2+a....(1)$
$y^3-xyz=6$ ได้ $y^3=6+a....(2)$
$z^3-xyz=20$ ได้ $z^3=20+a...(3)$
เอา 3 สมการคูณกัน
$a^3=(2+a)(6+a)(20+a)$
$a^3=a^3+28a^2+172a+240$
$28a^2+172a+240=0$
แก้สมการได้$a=-4 $กับ $a=-15/7$
ค่า$x^3+y^3+z^3=28+3a$ น้อยสุดเมื่อ$a=-4$
แต่ผมว่าข้อนี้น่าจะถามค่ามากสุดของ$x^3+y^3+z^3$นะครับ
ref:aime2010

[Siren-Of-Step]

ผมถามน้อยสุดจะผิดอะไรไหมครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

wow ไม่ผิดครับแต่ผมว่ามันจะทำให้งงนะครับ
ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มแล้วก็เอาให้มันเป็นเศษส่วนอีก 555

[Siren-Of-Step]

เอามาเพิ่มให้
จงหาเศษจากการหาร $9*99*999*9999*..........*\underbrace{9999.....}_{999 ตัว} ด้วย 10000$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

$9*99*999=890109$หารด้วย10000 เหลือเศษ 109
$9*99*999*9999$ถ้าจะดูเศษก็นำเศษจาก$9*99*999=890109$หารด้วย10000 คือ 109
มาคูณกับ 9999 ลัดขึ้นหน่อยก็ 10000+109(-1)=9891 เป็นเศษจากการหาร$9*99*999*9999$ด้วย10000
$9*99*999*9999*99999$ เนื่องจาก 99999 หารด้วย 10000 เหลือเศษ 9999
เราจะได้ $9891*9999$ ลัดอีกนิดได้ (-109)(-1)= 109 เป็นเศษจากการหาร$9*99*999*9999*99999$ด้วย10000
จากนี้ไปก็วนซ้ำแล้วครับ
ตอบ 109