Challenging Problems from a Book

[warut]

เยี่ยมไปเลยครับคุณคิดด้วยคน ขอบคุณมากๆครับที่ช่วยให้ผมได้ตาสว่างซักที

ข้อ 1) จะขออธิบายเพิ่มเติม ว่าทำไม Q(x) + (x-1)(x-2)(x-3)R(x) จึงเป็นคำตอบทั่วไปทั้งหมดนะครับ

สำหรับพหุนาม P(x) ใดๆ ซึ่ง P(1) = 1, P(2) = 2^1/5 และ P(3) = 3^1/5
และ Q(x) เป็นพหุนามดีกรี 2 และเป็นดีกรีต่ำสุด ซึ่ง Q(1) = 1, Q(2) = 2^1/5 และ Q(3) = 3^1/5 เช่นกัน

เนื่องจาก P(x) = Q(x) + ( P(x) - Q(x) )
P(1) = Q(1) + ( P(1) - Q(1) ) = 1 ดังนั้น P(1) - Q(1) = 0 หรือ P(x) - Q(x) มี (x-1) เป็นตัวประกอบ
P(2) = Q(2) + ( P(2) - Q(2) ) = 2^1/5 ดังนั้น P(2) - Q(2) = 0 หรือ P(x) - Q(x) มี (x-2) เป็นตัวประกอบ
P(3) = Q(3) + ( P(3) - Q(3) ) = 3^1/5 ดังนั้น P(3) - Q(3) = 0 หรือ P(x) - Q(x) มี (x-3) เป็นตัวประกอบ
จึงได้ P(x) - Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)R(x) โดยที่ R(x) เป็นพหุนามใดๆ

ดังนั้น P(x) = Q(x) + ( P(x) - Q(x) ) = Q(x) + (x-1)(x-2)(x-3)R(x) เป็นคำตอบทั่วไปทั้งหมด

หมายเหตุ : Q(x) ไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนามดีกรี 2 เช่น เราอาจเลือกพหุนามที่มีดีกรีมากกว่า 2 เป็น T(x) = Q(x) + (x-1)(x-2)(x-3)S(x) มาเป็นตัวเริ่มต้น ก็จะได้คำตอบทั่วไปคือ P(x) = T(x) + (x-1)(x-2)(x-3)R(x)
และคำตอบทั่วไปนี้ก็ยังครอบคลุมไปถึง Q(x) ด้วยคือ หากเราเลือก R(x) = -S(x) ก็จะได้คำตอบหนึ่งคือ Q(x) นั่นเอง

ข้อ 2) ผมลองกำหนด x เป็น 0, 1 และ -1 พบว่า a|90, a|92 และ (a+2)|88 จึงเหลือ a ที่เป็นไปได้เพียง 2 ค่าคือ -1 หรือ 2 แต่ก็ยังนึกทางไปต่อแบบไม่ใช้กำลังเข้าปะทะไม่ออก (แต่หากใช้กำลังเข้าปะทะจะได้ a คือ 2)

[nooonuii]

ขอต่อข้อ 2 ของคุณคิดด้วยคนให้จบนะครับ

ถ้า a=-1 แทนค่า x=3 ลงไป จะได้ว่า

5 หาร 3¹³+3 ลงตัว ซึ่งไม่จริง เพราะ
3¹³+3 บ 3(3²)⁶+3 บ 1 (mod 5)

ขอบคุณครับ คุณ nooonuii ที่ช่วยตอบ

ผมเชื่อว่าจะหา x สำหรับ a = -1 แล้วทำให้มันหารกันไม่ลงตัวได้ แต่จะแน่ใจได้อย่างไรว่า a = 2 เป็นคำตอบจริงๆ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
8. ให้ \( P(x) \) เป็นพหุนามสปสค่าจริง ที่มี degree เป็นเลขคู่ \( n \) และ \( P(x)\geq0 \) สำหรับทุกจำนวนจริง \( x \) จงพิสูจน์ว่า
\[
P(x)+P'(x)+\cdots+P^{(n)}(x)\geq0
\]
สำหรับทุก \( x \)

ทำโจทย์ของคุณ aaaa ต่อดีก่า

เนื่องจาก P(x) ณ 0 สำหรับทุกจำนวนจริง x
ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ xⁿ ใน P(x) จึงต้องเป็นจำนวนจริงบวก

ให้ Q(x) = P(x) + P'(x) + ... + P⁽ⁿ⁾(x)
ดังนั้น Q'(x) = P'(x) + P''(x) + ... + P⁽ⁿ⁾(x) เพราะ P⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 0
เราจึงได้ว่า Q(x) = P(x) + Q'(x)

เนื่องจาก Q(x) มีดีกรีเป็นเลขคู่ n และสัมประสิทธิ์ของ xⁿ ใน Q(x)
ก็มีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ xⁿ ใน P(x) ซึ่งเป็นจำนวนจริงบวก
ดังนั้น Q(x) จะต้องมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

สมมติให้ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ Q(x) นั้นเกิดที่ x₀
ดังนั้น Q'(x₀) = 0 และเนื่องจาก P(x₀) ณ 0
เราจึงได้ว่า Q(x₀) = P(x₀) + Q'(x₀) ณ 0
แต่ Q(x₀) คือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ Q(x) = P(x) + P'(x) + ... + P⁽ⁿ⁾(x)
เราจึงสามารถสรุปได้ว่า P(x) + P'(x) + ... + P⁽ⁿ⁾(x) ณ 0 สำหรับทุกจำนวนจริง x