หยุดยาว ทำโจทย์

[T-kung]

ตอนเปิดกระทู้นี้ คอมค้างไปชั่วขณะ

[TimeTimeFruit]

ข้อ 10. นะครับ

ลองสมมติให้ $a=a_1^3,b=b_1^3,c=c_1^3$ แล้วเราจะได้ $a_1b_1c_1=1$ เช่นกัน

แล้วดู $a_1^3+b_1^3-a_1^2b_1-a_1b_1^2 = \left(a_1-b_1\,\right)^2\left(a_1+b_1\,\right)\geqslant 0$

ได้ใหม่เป็น $a_1^3+b_1^3\geqslant a_1b_1\left(a_1+b_1\,\right)$

จากนั้นลองดูในตัวส่วนของโจทย์ $\frac{1}{a+b+1}$ แทน $a+b$ ด้วย $a_1^3+b_1^3$ แล้วกลับอสมการ ด้วยเงื่อนไขที่สร้างขึ้นเมื่อกี้

ทำซ้ำทั้ง 3 ตัว จับบวกกัน ตัดกันจะได้อสมการตัวนึง จับมาตอบครับ

ข้อ 12. เป็น AIME1984 ครับ แม่นจัง

จากโจทย์เราสามารถมองเป็นรูปสมการเดียวคือ $$\frac{x^2}{A-1^2}+\frac{y^2}{A-3^2}+\frac{z^2}{A-5^2}+\frac{w^2}{A-7^2}=1$$
เมื่อ $A=4,16,36,64$

ลองปรับรูปพหุนามตัวนี้ในรูปของ $P\left(A\,\right)=0$ จะได้รูปนี้ $P\left(A\,\right)=\left(A-1\,\right)\left(A-9\,\right) \left(A-25\,\right) \left(A-49\,\right)
-x^2\left(A-9\,\right) \left(A-25\,\right) \left(A-49\,\right)$
$-y^2\left(A-1\,\right)\left(A-25\,\right) \left(A-49\,\right)
-z^2\left(A-1\,\right)\left(A-9\,\right)\left(A-49\,\right)
-w^2\left(A-1\,\right)\left(A-9\,\right) \left(A-25\,\right) ... *$

(ถึกได้อีก )

แต่ดีกรีของ $P\left(A\,\right)$ เป็น $4$ และถ้า $A=4,16,36,64$ แล้ว จะทำให้ $P\left(A\,\right)=0$ ตามเงื่อนไขโจทย์ แสดงว่า $$P\left(A\,\right)=\left(A-4\,\right) \left(A-16\,\right) \left(A-36\,\right) \left(A-64\,\right) ... **$$

ที่เหลือก็สุดแล้วแต่ครับ

ปล.นานๆผมจะมาตอบที ขอโทษด้วยนะครับ (พี่ไม่ค่อให้เล่นคอมฯ )

[Siren-Of-Step]

ผมเจอ solution คล้าย ๆ ของพี่ ละ ขอบคุณมากครับ http://www.artofproblemsolving.com/F...7d070e#p392635

[หยินหยาง]

อันที่จริงโจทย์ที่โพสต์ส่วนใหญ่ล้วนเคยมีคนนถามหรือเป็นโจทย์ที่คล้ายๆกัน ถ้าค้นซะนิดก็จะเจอครับ ยกตัวอย่างเช่น
http://www.mathcenter.net/forum/show...2344#post12344

[Siren-Of-Step]

เอามาฝาก ของ Scylla_Shadow
กำหนด $a,b$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3\dfrac{1}{9}$ ค่าของ $250a-202b$ เป็นเท่าใด