เลขคณิตและพีชคณิต2 ขอโทษทีนะครับอันเก่ามันไม่แสดงผลเป็นLatex

[krit]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

1.จากข้อ11
1.1.$\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}=\sqrt[]{(a+b)-2\sqrt[]{ab}},a>b$
มันคือสูตรอะไรครับแล้วเป็นของม.อะไร
1.2.แล้วตัวไหนคือ$\sqrt[]{a},\sqrt[]{b}$

1.1 สูตรผลต่างราก (ไม่รู้ว่ามาจากม.อะไรครับ)
1.2 $a=75,b=18$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

ขอถามหน่อยนะครับ ใครเก่งวิทย์(คำนวณ ชีวะ ฟิสิก ...)และก็ภาษาอังกฤษบ้างครับ ผมมีเรื่องจะให้ช่วยหน่อยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม update (5/08/54)

1.ถ้า $\frac{1}{8}=\frac{1}{2+2\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+...}}}}$ และ a มีค่าเท่าใด(โอลิมปิกรอบแรก)
กำหนด $x=\frac{1}{\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+...}}}}$
จากโจทย์ ; $\frac{1}{8}=\frac{1}{2+2x}$<---จากที่โจทย์กำหนดมาว่่า $x=\frac{1}{\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+...}}}}$ เวลาแทนค่าใน $\frac{1}{2+2x}$ ค่ามันไม่กลายเป็น$\frac{1}{2+2(\frac{1}{\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+...}}}})}$หรอครับ
?? ? ? ? ? ?$x=3$
ดังนั้น $a+\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+\sqrt[]{a+...}}}=9$<---มาจากไหน
$a+x=9$
$a=6$

น่าจะให้ $x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}$ มากกว่าครับ และวิธีทำก็ตามที่คุณ krit ได้แสดงไว้แล้วครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

ขอถามหน่อยนะครับ ใครเก่งวิทย์(คำนวณ ชีวะ ฟิสิก ...)และก็ภาษาอังกฤษบ้างครับ ผมมีเรื่องจะให้ช่วยหน่อยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม update (5/08/54)



2.$24^n$ หาร $100!$ ลงตัว จงหาค่า $n$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้(มหิดล)
เนื่องจาก $\frac{100!}{24^n}$ =$\frac{100!}{(2^{3n})(3^n)}$
$100!$ หารด้วย $(2^{3n})(3^n)$ ลงตัวก็ต่อเมื่อ เราทราบว่า $100!$มีตัวประกอบ $2,3$ อยู่กี่ตัวโดยอาศัยสูตรของเลอจองดร์ดังนี้<---อยากทราบว่าทำไมต้องใช้สูตรของเลอจองดร์?
พิจารณา $100!$ จะมี 2 เป็นตัวประกอบ
$=[\frac{100}{2}][\frac{100}{2^2}][\frac{100}{2^3}][\frac{100}{2^4}][\frac{100}{2^5}][\frac{100}{2^6}]$
$=50+25+12+6+3+1$
$=97$ตัว
$100!$จะมี3เป็นตัวประกอบกี่ตัว
$=[\frac{100}{3}][\frac{100}{3^2}][\frac{100}{3^3}][\frac{100}{3^4}]$
$=33+11+1+3+1$
$=48$ตัว
ดังนั้น $\frac{100!}{24^n}=\frac{2^{97}\cdot3^{48}\cdot...\cdot97}{(2^{3n})(3^{n})}$<---คูณไปเรื่อยๆจนถึง97หมายความว่าอย่างไร
(ช่วยอธิบายข้อความข้างล่างนี้หน่อยครับ)
ทำให้เราสรุปได้ว่า $3n<97$ และ $n<48$จึงทำให้มีผลลัพธ์ของ$\frac{100!}{24^n}$ลงตัวจะได้ $n=32$

ทำไมจึงต้องใช้สูตร เลอจองดร์ เพราะง่ายที่สุดครับ
ดังนั้น $\frac{100!}{24^n}=\frac{2^{97}\cdot3^{48}\cdot...\cdot97}{(2^{3n})(3^{n})}$<---คูณไปเรื่อยๆจนถึง97หมายความว่าอย่างไร
จริงๆไม่น่าจะคูณไปเรื่อยๆจนถึง 97 ครับ แต่คูณกับตัวประกอบอื่นๆที่เหลืออยู่ ซึ่งเราไม่สนใจครับ
อาจกำหนดเป็นตัวแปรเพื่อให้ดูง่ายขึ้น คือ $\frac{2^{97}\cdot3^{48}\cdot N}{2^{3n}\cdot3^{n}}$
โดยที่ $N$ เป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งครับ
ทีนี้เราต้องการให้หารลงตัวนั่นคือ กำลังของตัวส่วนต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเศษครับ
หรืออาจมองแยกเป็น $\frac{2^{97}}{2^{3n}}$ และ $\frac{3^{48}}{3^n}$ ครับ
นั่นคือ $3n\leqslant 97$ และ $n\leqslant 48$
$\ \ \ \ n\leqslant 32.33$ และ $n\leqslant 48$
แต่ $n$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $n\leqslant 32$ ต้องการค่า $n$ ที่มากที่สุด จึงได้ $n=32$ ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

ขอถามหน่อยนะครับ ใครเก่งวิทย์(คำนวณ ชีวะ ฟิสิก ...)และก็ภาษาอังกฤษบ้างครับ ผมมีเรื่องจะให้ช่วยหน่อยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม update (5/08/54)


3.จงหาจน.เต็มบวก N มีน้อยที่สุดซึ่งเมื่อหารด้วย 10,9,8,7,6,5,4,3,2จะเหลือเศษ9,8,7,6,5,4,3,2,1ตามลำดับแต่เมื่อหารด้วย 11 จะเหลือเศษ 2 (โอลิมปิก)<---จากโจทย์ผมงงว่าจน.ตัวหารไม่เท่ากับจน.เศษคือ ตัวหารมี 8 ตัว ตัวเศษมี 9ตัว?

ครน.ของ 10,9,8,7,6,5,4,3,2 เท่ากับ $m=2520$
จากโจทย์จะได้ 10,9,8,7,6,5,4,3,2 หาร $n+1$ ลงตัว
ฉะนั้น ?$n+1$ ?เป็นตัวคูนร่วมของ 10,9,8,7,6,5,4,3,2?
ทำให้ได้ว่า $m|(N+1)$ นั่นคือ $2520|(N+1)$
;$(n+1)=2520,5040,7560,...$<---มาจากไหนครับหรือว่าเกิดจาก ?2520+ 2520=5040ใช่ไหมครับถ้าถูกช่วยอธิบายด้วยว่าบวกกันทำไม
ดังนั้นN=2519,5039,7559,...
จากที่ Nหารด้วย 11 เหลือเศษ2
จะได้ $N=7559$ เป็นจน.เต็มที่น้อยที่สุด<---ช่วยขยายความหน่อยและทำไม $N=7559$

โจทย์คงพิมพ์ตกเลข 8 ไปครับ
$(n+1)=2520,5040,7560,...$<---มาจากไหนครับหรือว่าเกิดจาก 2520+ 2520=5040ใช่ไหมครับถ้าถูกช่วยอธิบายด้วยว่าบวกกันทำไม
$2520$ หาร $n+1$ ลงตัว หมายความว่า $n+1$ มีตัวประกอบ คือ $2520$ ครับ
นั่นคือ $n+1=(2520\times1),(2520\times2),(2520\times3),(2520\times4),....$
(เหมือนกับ $2|n$ ดังนั้น $n=2,4,6,8,....$ ครับ)
จะได้ $N=7559$ เป็นจน.เต็มที่น้อยที่สุด<---ช่วยขยายความหน่อยและทำไม $N=7559$
ก็เป็นจำนวนที่ตรงกับเงื่อนไขทั้งหมดไงครับ
(หารด้วย 10,9,8,7,6,5,4,3,2 จะเหลือเศษ 9,8,7,6,5,4,3,2,1 และหารด้วย 11 เหลือเศษ 2)

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

ขอถามหน่อยนะครับ ใครเก่งวิทย์(คำนวณ ชีวะ ฟิสิก ...)และก็ภาษาอังกฤษบ้างครับ ผมมีเรื่องจะให้ช่วยหน่อยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม update (5/08/54)


4.ถ้า $2^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{4}}\cdot8^{\frac{1}{8}}\cdot...\cdot1024^{\frac{1}{1024}}$ สามารถเขียนอยู่ในรูป $2^{2-\frac{a}{b}}$ ค่าของ $a-b+1$ มีค่าเท่าใด(มหิดล)

$2^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{4}}\cdot8^{\frac{1}{8}}\cdot...\cdot1024^{\frac{1}{1024}}$
=$2^{\frac{1}{2}}\cdot(2^2)^{\frac{1}{4}}\cdot(2^3)^{\frac{1}{8}}\cdot...\cdot(2^{10})^{\frac{1}{1024}}$
$=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{10}{2^{10}}}$ ? ? -----(1)
พิจารณา $s={\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{10}{2^{10}}}$ ? ? -----(2)
$(1)\cdot2;2s=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+...+\frac{10}{2^9}$ ? ? -----(3)
(ช่วยอธิบายข้อความข้างล่างนี้หน่อยนะครับงง)
$(3)-(2);s=1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{9^9})-\frac{10}{2^{10}}$
s=$1+\frac{\frac{1}{2}(1-\binom{1}{2}^9)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{10}{2^{10}}$
s=$1+(1-\frac{1}{2^9})$-$\frac{10}{2^{10}}$
s=$\frac{2^{11}-2-10}{2^{10}}$
s=$\frac{2048-12}{1024}$
s=$\frac{509}{256}$

นำสมการที่ (3) ลบ กับสมการที่ (2) ครับ โดยเลือกเลขที่มีตัวส่วนเท่ากันมาลบกันครับ
$(3) \ \ \ \ \ \ \ = 1\ \ \ \ \ +\frac{2}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{3}{2^2}+...\ \ \ \ \ \ +\frac{10}{2^9}$
$(2) \ \ \ \ \ \ \ = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{2}{2^2}+....\ \ \ \ \ +\frac{9}{2^9}\ \ \ +\frac{10}{2^{10}}$
$(3)-(2) =1+(\frac{2}{2}-\frac{1}{2})+(\frac{3}{2^2}-\frac{2}{2^2})+....(\frac{10}{2^9}-\frac{9}{2^9})-\frac{10}{2^{10}}$
หลังจากนั้นก็ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตครับ $(S=\frac{a(1-r^n)}{1-r})$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

ขอถามหน่อยนะครับ ใครเก่งวิทย์(คำนวณ ชีวะ ฟิสิก ...)และก็ภาษาอังกฤษบ้างครับ ผมมีเรื่องจะให้ช่วยหน่อยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม update (5/08/54)


5.กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่มีเศษเหลือเท่ากับ 3 เมื่อหารด้วย $x-2$และมีเศษเหลือเท่ากับ 5 เมื่อหารด้วย $x-3$ เศษเหลือที่ได้จาก P(x) หารด้วย $x^{2}-5x+6$ เท่ากับเท่าใด(สมาคมคณิตศาสตร์)

กำหนด $P(x)=Q(x)(x^{2}-5x+6)+(ax+b)$<---นี่คือรูปแบบของทฤษฎีเศษเหลือใช่ไหมครับแล้วแต่ละตัวมีหน้าที่ดังนี้?
$P(x)$=ตัวตั้ง
$Q(x)$=ตัวหาร
$(x^{2}-5x+6)$=ผลหาร
$(ax+b)$=เศษ ?
ถูกต้องไหมครับ.
โจทย์กำหนด $P(x)/(x-2)$เหลือเศษ 3?
$;2a+b=3$ ? ? -----(1)<---เกิดจากการแทนค่า $x=2$ ใช่ไหมครับ ผมงงว่่า เราสามารถดึงค่ามันออกมาได้ด้วยหรอครับช่วยอธิบายหน่อยครับแล้วพอแทนค่าลงไปแล้ว$P$ หายไปไหน.
และจากโจทย์กำหนด $P(x)/(x-3)$เหลือเศษ 3?
$;3a+b=5$ ? ? -----(2)
(2)-(1) ;$a=2,b=-1$
ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จาก $P(x)$หารด้วย $(x^{2}-5x+6)$ เท่ากับ $2x-1$($2x-1$มาจากไหนครับ)

$P(x)=Q(x)(x^2-5x+6)+ax+b$ ที่เข้าใจถูกแล้วครับ
$P(2)=Q(2)(2^2-5(2)+6)+2a+b=3$
$\ \ \ \ =Q(2)(0)+2a+b=3$ ($Q(2)$ คูณ 0 ก็ได้ 0 ไม่ต้องคิดแล้วครับ)
$\ \ \ \therefore 2a+b=3$ อีกสมการก็ทำเช่นเดียวกันครับ
สุดท้ายพอแก้สมการหา $a,b$ ได้แล้วก็นำไปแทนใน $ax+b$ ก็จะได้เศษตามต้องการครับ
(เพราะรู้แล้วนี่ว่า $(ax+b)$=เศษ )

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

ขอถามหน่อยนะครับ ใครเก่งวิทย์(คำนวณ ชีวะ ฟิสิก ...)และก็ภาษาอังกฤษบ้างครับ ผมมีเรื่องจะให้ช่วยหน่อยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม update (5/08/54)



6.จน.เต็มบวก n ที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งทำให้ $(2000n+1)(2008n+1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ที่มีค่าเป็นเท่าใด(มหิดล)
กำหนด $(2000n+1)(2008n+1)$ เป็นจน.กำลังสองสมบูรณ์
แสดงว่า จะมีจน.เต็มบวก m ที่ทำฝให้
$(2000n+1)(2008n+1)=m^{2}$
$(2000•2008)n^{2}+4008n=m^{2}-1$
$n[(250•2008)n+501]=(m+1)(m-1)$
เนื่องจาก$n=1,2,3,...,500$ไม่สามารถนำไปหาค่า m ได้<---หมายความว่าอย่างไรครับ.
แทนค่า $n=501$ $;8n[(250•2008)n+501]$<---แล้วรู้ได้อย่างไรว่า $n=501$มันเป็นแค่การนำ 8 ไปหารไม่ใช่หรอครับ?
$=4008[(250•2008•501)+501]$
$=1004004•1004002$
แสดงว่า n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้หา m ได้คือ 501
ดังนั้น ค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(2000n+1)(2008n+1)$เป็นจน.กำลังสองสมบูรณ์ คือ 501 <---$n=501$เกี่ยวอะไรกับกำลังสองสมบูรณ์ครับ

เนื่องจาก$n=1,2,3,...,500$ไม่สามารถนำไปหาค่า m ได้<---หมายความว่าอย่างไรครับ.
ก็คือ ค่า $n=1,2,3,...,500$ เมื่อแทนค่าแล้วไม่สามารถจัดให้อยู่ในรูปของสองจำนวนคูณกันโดยทั้งสองจำนวนมีความต่างเท่ากับ 2 ได้ครับ (ข้างขวาคือจำนวนสองจำนวนคูณกันโดยสองจำนวนนั้นมีความต่าง 2)
แทนค่า $n=501$ $;8n[(250•2008)n+501]$<---แล้วรู้ได้อย่างไรว่า $n=501$มันเป็นแค่การนำ 8 ไปหารไม่ใช่หรอครับ?
เราไม่รู้ครับ แต่รู้ว่า 500 ไม่ใช่ก็เลยลอง 501 เมื่อแทนค่าแล้วจัดรูปตามนี้ครับ
$8(501)[(250\cdot2008)(501)+501]=4008[(250\cdot2008+1)(501)]$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2004(501)[2(250\cdot2008+1)]$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1004004\cdot1004002$
ซึ่งได้สองจำนวนคูณกันแล้วสองจำนวนนี้มีความต่าง 2 พอดีครับ
ดังนั้น ค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(2000n+1)(2008n+1)$เป็นจน.กำลังสองสมบูรณ์ คือ 501 <---$n=501$เกี่ยวอะไรกับกำลังสองสมบูรณ์ครับ
ได้ค่า $n=501$ ลองแทนในสมการ $(2000n+1)(2008n+1)$ ดูครับ $=[2000(501)+1][2008(501)+1]=1002001\cdot1006009=1004003^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ครับ

[Worrchet]

มันไม่เกินนะครับผมแค่ลืมเว้นวรรค

[Worrchet]

ผมขอมาโพสตรงนี้นะครับ จะได้ดูกันสะดวกๆ ขอบคุณครับ

1.กำหนดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD จุด P และจุด Q เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม BD มี AP ตั้งฉากกับ BD และ CQ ตั้งฉากกับ BD ถ้า BP=PQ=QD=1 ?แล้วพท.ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มีคาเท่าใด
อยากถามว่า จะหาเส้นกิ่งอย่างไรครับ

2.ถ้า y แปรผันโดยตรงกับ x และแปรผกผันกับ $z^{2}$ และถ้า x เพิ่มขึ้น 4เท่า zลดลง $\frac{1}{3}$ เท่า ค่าของ y จะมีต่าเพิ่มขึ้นเท่าใด
2.1. แสดงวิธีทำให้ดูหน่อยนะครับอย่างละเอียด
2.2. ผมงงกับคำว่า ถ้า x เพิ่มขึ้น 4เท่า zลดลง $\frac{1}{3}$ เท่า มันหมายความว่าอย่างไร