|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
ข้อ12 คิดได้อีกแบบหนึ่งคือ แปลง$\frac{2}{5} $มาเป็น$\frac{2\times 3}{5\times 3} =\frac{(5+1)}{5\times 3} =\frac{5}{5\times 3} +\frac{1}{5\times 3} $ จะได้$m+n=15+3=18$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#17
|
||||
|
||||
$x^2−19x+k=0$
ให้คำตอบเป็นจำนวนเฉพาะ $(x-p)(x-q)=0 \rightarrow x^2-(p+q)x+pq=0$ สรุปคือหาจำนวนเฉพาะสองตัวที่บวกกันได้19....ก็มี(2,17)คู่เดียวเท่านั้น ดังนั้นค่าของ$\frac{p}{q} +\frac{q}{p}=\frac{2}{17} +\frac{17}{2} =\frac{(2\times 2)+(17\times 17)}{2\times 17} =8\frac{21}{34} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#18
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ข้อสอบนี้เป็นการแข่งขันชิงทุน Putnam ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีในอเมริกาครับ แต่ตอนนี้ข้อสอบลดระดับลงมาที่ระดับม.ต้นเท่านั้นเพราะเด็กเริ่มรู้เทคนิคการหาคำตอบกันเยอะขึ้น ขออธิบายรูปทั่วไปให้ดูนะครับ เจอโจทย์รูปแบบนี้เมื่อไหร่ก็ใช้ได้ทันที สมมติเรามีสมการในรูป $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{p}{q}$ จัดรูปโดยการคูณไขว้จะได้สมการ $pmn=q(m+n)$ $p^2mn=pq(m+n)$ $(pm)(pn)=q(pm+pn)$ $(pm)(pn)-q(pm+pn)+q^2=q^2$ $(pm-q)(pn-q)=q^2$ จากตรงนี้ก็แยกกรณีโดยการพิจารณาตัวประกอบของ $q^2$ สำหรับข้อนี้จัดรูปแล้วจะได้ $(2m-5)(2n-5)=25$ เมื่อลองเช็คคำตอบตามเงื่อนไขโจทย์จะได้คำตอบคือ $(m,n)=(3,15),(15,3)$ เท่านั้น
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#19
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณnooonuiiที่ช่วยบอกวิธีในการคิดครับ...ได้เทคนิคการคิดเพิ่มอีกวิธีหนึ่งแล้ว
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#20
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$=\Big(\dfrac{2^2-1+2}{2^2-1}\Big)+\cdots +\Big(\dfrac{20^2-1+2}{20^2-1}\Big)$ $=\Big(1+\dfrac{2}{2^2-1}\Big)+\cdots +\Big(1+\dfrac{2}{20^2-1}\Big)$ $=\Big(1+\dfrac{2}{1\cdot 3}\Big)+\cdots +\Big(1+\dfrac{2}{19\cdot 21}\Big)$ $=\Big(1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\Big)+\cdots +\Big(1+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{21}\Big)$ $=\Big(1+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Big)+\cdots +\Big(1+\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{21}\Big)$ $=\Big(1+\dfrac{3}{1\cdot 2}-\dfrac{5}{2\cdot 3}\Big)+\Big(1+\dfrac{5}{2\cdot 3}-\dfrac{7}{3\cdot 4}\Big)+\cdots +\Big(1+\dfrac{39}{19\cdot 20}-\dfrac{41}{20\cdot 21}\Big)$ $=19+\dfrac{3}{1\cdot 2}-\dfrac{41}{20\cdot 21}$ $=\dfrac{41}{2}-\dfrac{41}{20\cdot 21}$ $=\dfrac{8569}{420}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#21
|
||||
|
||||
ยังไงวันนี้ก็เล่นเอามึนทั้งวันแล้วก็ขอรวมโจทย์ไว้ในกระทู้นี้จนหมดแล้วกัน....
Mathematical Olympiad 2009, young people in Asian cities 2.มีนักคณิตศาสตร์เข้ามาเยี่ยมชมชั้นเรียนของเด็กกิ๊ฟท์เตตชั้นหนึ่ง หัวหน้าชั้นรายงานว่า สองในสามของนักเรียนชั้นนี้ไปร่วมการแข่งขันเคมี,สามในสี่ไปร่วมการแข่งขันชีววิทยา,สี่ในห้าของนักเรียนไปแข่งฟิสิกส์และห้าในหกของนัก เรียนไปแข่งคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ท่านนี้กล่าวว่า"มีนักเรียนในชั้นนี้อย่างน้อย 12 คนที่ไปร่วมการแข่งขันทั้งสี่อย่าง"...จงหาว่านักเรียนชั้นนี้มีทั้งหมดกี่คน 3.กำหนดให้$x,y$และ$z$เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ$0$ โดยมีความสัมพันธ์กันตามสมการนี้ $x^2=yz$ และ $x^4=xy+yz+xz$ จงหาว่าค่า$x^2$มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับเท่าไหร่ 4.กำหนดให้$x,y$และ$z$เป็นจำนวนจริง และ $2^{x+y}=10$ , $2^{y+z}=20$ ,$2^{x+z}=30$ จงหาค่าของ$2^x$ 5.มีสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ลูกหนึ่งต้องการทาสีแดงสองหน้า,ทาสีน้ำเงินอีกสองหน้าและทาสีเขียวอีกสองหน้า จงหาว่ามีจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการทาสีตามต้องการเท่ากับเท่าไหร่ 6.มีจำนวนใดที่อยู่ระหว่าง$500$ถึง$1000$ที่มีคุณสมบัติตามที่กำหนดทั้งสามข้อนี้ 1.หารด้วย$3$ และ$5$ลงตัว 2.ตัวเลขในแต่ละหลักเมื่อรวมกันแล้วได้เท่ากับ$15$ และ3.ตัวเลขในแต่ละหลักเมื่อนำมาคูณกันแล้วเป็นทวีคูณของ$48$(คือ หารด้วย48ลงตัว) 8.สามเหลี่ยม$ABC$มีด้าน$AB$ยาวเท่ากับ 12 และ$D$เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน$BC$ $AE = 4 EC$ เมื่อลาก$ED$ออกไปจนตัดกับเส้นที่ลากต่อมาจาก$AB$ที่จุด$F$ จงหาความยาวของ$BF$ 9.สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากับ$2+\sqrt{6} $ ด้านตรงข้ามมุมฉากเมื่อถูกแบ่งครึ่งด้วยเส้นผ่ากลาง(midline)จะมีความยาวเท่ากับ$1$ จงหาผลคูณของความยาวของสองด้านที่เหลือ ข้ออัตนัย 2.$A,B,C,D,E$เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า$1000$โดยที่$E>A>B>C>D$และ$A+B+C-D=E$ จงหาค่าของ$A,B,C,D,E$ 3.มีสี่เหลี่ยมคางหมู$ABCD$ที่มีด้าน$AD\parallel BC$ และภายในสี่เหลี่ยมนี้มีวงกลมแนบในอยู่ ถ้าเ้ส้นตรง$AB,BC,CD,DA$สัมผัสกับวงกลมแนบในที่จุด$K ,L,M ,N .$ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า$AK\times KB = CM \times MD $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 04 เมษายน 2010 23:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#22
|
|||
|
|||
ตอบ $3$ ครับ แต่ยังไม่เฉลยละกัน เผื่อไว้ให้เด็กสอวน. มาโชว์ฝีมือกัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#23
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แบ่งเปนสองหกรณีคือ กรรี=1 กับกรณีไม่เท่ากับ 1 ครับ แต่ดูถ้าวิธีขงคุณ noonuii จะง่ายกว่าเยอะเลยครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#24
|
||||
|
||||
ข้อ 8 #1
มั่วๆมาเป็น $(x-5)^2-1^2=0$ ได้เลยไหมเนี่ย |
#25
|
||||
|
||||
ผมแปลงรูปเป็นสมการเป็น$(x-5)(x-a)=1$...แสดงว่า$x-5=1$และ$x-a=1$
$x=6$....นำค่า$x$ไปแทนลงใน$x-a=1 \rightarrow 6-a=1 \rightarrow a=5$ ที่จับมาแบบนี้เลยเพราะโจทย์บอกว่ามีรากสมการเป็นจำนวนเต็ม จริงๆก็พอมีวิธีอื่นอีก แปลงสมการมาเป็น$x^2-(a+5)x+(5a-1)=0$ แก้สมการได้ค่า $x= \frac{(a+5) \pm \sqrt{(a+5)^2-4(5a-1)}}{2}$ ค่า$x$จะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มสองค่าเมื่อ $\sqrt{(a+5)^2-4(5a-1)}$ได้เป็นจำนวนเต็ม คือ $(a+5)^2-4(5a-1)$เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $(a+5)^2-4(5a-1) =(a-5)^2+2^2=k^2$ ให้$a-5=k-m$,$k-n=2$ $\rightarrow k=2+n$ นำไปแทนค่าใน$a-5=k-m$.....กำลังจะหาดูว่าค่า$a$ที่สอดคล้องกับสมการนั้นมีค่าเดียวหรือไม่ ได้$a-5=n-m+2$ กำหนดให้$m,n$เป็นจำนวนเต็มจะได้ว่า $(n-m+2)^2+2^2=(n+2)^2$.....เทียบกับปิธากอรัส เป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ $n+2$และสองด้านที่เหลือคือ$2$กับ$n-m+2$ จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่ผลบวกของความยาวสองด้านใดๆต้องมากกว่าด้านที่เหลือเสมอ....จะได้ว่า 1.$n-m+2+2 > n+2 \rightarrow m<2$ 2.$n-m+2+n+2 >2 \rightarrow n>\frac{m-2}{2} $ 3.$n+2+2 > n-m+2 \rightarrow m> -2$ จะได้ขอบเขตของค่า$m$ คือ $-2<m<2$ ค่าของ$m$คือ $-1,0,1$ จาก...$(n-m+2)^2+2^2=(n+2)^2$ จัดรูปใหม่ได้เป็น $m^2-2(n+2)m+4=0$ มีแต่ค่า$m,n$ที่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้นจึงจะทำให้ค่า$a$เป็นจำนวนเต็ม แก้สมการได้ค่า$m=(n+2)\pm \sqrt{n^2+4n} $ เมื่อเอาค่า$m$จากที่หามาก่อนหน้านี้มาแทน ได้ค่า$n$ที่เป็นเศษส่วน จึงไม่มีค่า$m,n$ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้$(n-m+2)^2+2^2=(n+2)^2$....กลับมาพิจารณา$m=(n+2)\pm \sqrt{n^2+4n} $ พจน์$n^2+4n$เป็นพจน์ที่ไม่สามารถเขียนเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ ยกเว้นกรณีเดียวคือเมื่อ$n=0$ จะได้ค่าของ$m$เท่ากับ$2$ $(a-5)^2+2^2=k^2$ , $k=2+n=2+0=2$ , $a=5+k-m=5+2-2=5$ ดังนั้นได้ค่า$a$เพียงค่าเดียวที่ทำให้$(x-5)(x-a)=1$มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มสองค่า ค่า$a$เท่ากับ$5$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 07 เมษายน 2010 17:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#26
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$2^{y+z}=20$ .........(2) $2^{x+z}=30$ ......(3) $(1) \times (2) \times (3) \ \ \ 2^{2(x+y+z)} = 10 \times 20 \times 30 = 100 \times 4 \times15$ $ \dfrac{(4)}{(2)} \ \ \ \ \dfrac{2^{(x+y+z)}}{2^{y+z}} = \dfrac{ \pm (20 \sqrt{15})}{20}$ $2^x = \pm \sqrt{15}$ ว่าแล้ว ต้องผิด ขอบคุณคุณlek2554 ที่ช่วยชี้แนะ $(1) \times (2) \times (3) \ \ \ 2^{2(x+y+z)} = 10 \times 20 \times 30 = 100 \times 4 \times15$ $ 2^{(x+y+z)} = 20 \sqrt{15} $ ........(4) $ \dfrac{(4)}{(2)} \ \ \ \ \dfrac{2^{(x+y+z)}}{2^{y+z}} = \dfrac{ 20 \sqrt{15}}{20}$ $2^x = \sqrt{15}$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) 26 กรกฎาคม 2011 15:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ banker เหตุผล: ค่าติดลบใช้ไม่ได้ |
#27
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
มากกว่านี้ไม่รู้แล้วครับ ข้อนี้่ในระดับ ม.ต้นทำยังไงครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#28
|
||||
|
||||
#26
$2^n$ มีค่ามากกว่าศูนย์เสมอครับ |
#29
|
|||
|
|||
ขอบคุณที่ช่วยชี้แนะ แก้ไขแล้วครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#30
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
สีน้ำเงิน กับสีเขียวก็เลือกได้ อีก อย่างละ 5 วิธี แต่ละวิธี อิสระจากกัน จึงมี 5 x 5 x 5 = 125 วิธี เอาใหม่ครับ หน้าแรก ทาสีแดงแล้ว เหลืออีก 5 หน้าให้เลือก จึงทาได้ 5 วิธี ทาสีแดงไป 2 หน้าแล้ว เหลือ 4 หน้าให้น้ำเงินเลือก สีน้ำเงินแรกทาได้ 4 วิธี น้ำเงินที่สองทาได้ 3 วิธี รวม 12 วิธี เหลืออีกสองหน้าสำหรับสีเขียว ซึ่งวางได้ 2 วิธี รวมได้ 5 x 12 x 2 =120 วิธี
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) 27 กรกฎาคม 2011 11:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ banker เหตุผล: อันบนผิดครับ |
|
|