|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
เฉลยละกันนะคับ
เราแสดงได้ว่า \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \] ดังนั้น \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx + \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = 2 \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \] จะได้ว่า \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = 2 \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \] ดังนั้น \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x }{\sin^3x +\cos^3 x} dx = \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 21 มีนาคม 2006 15:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#17
|
|||
|
|||
สำหรับ Hint ในส่วนของผม
ข้อแรกของผม กับคำถามของคุณ nooonuii ใช้หลักการเดียวกันครับ และเป็น useful trick มากสำหรับอินทิกรัลจำกัดเขตบางประเภท Trick ที่ว่าคือ $$ \int_{0}^{a} f(x) dx=\int_{0}^{a} f(a-x) dx $$ ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยาก โดย ให้ $ u=a-x $ ส่วนข้อที่ 2 แนะนำให้ลองใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาช่วยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#18
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#19
|
||||
|
||||
ช่วยใบ้ข้อ 2 ของคุณ passer-by: $\sec^2x=1+\tan^2x$
ข้อของคุณ nooonuii หากแสดงได้ว่าสองอินทิกรัลเท่ากัน อาจเขียนได้ว่า $\int\frac{\sin^3x}{\dots}\ dx=\int\ dx-\int\frac{\cos^3x}{\dots}\ dx$ แล้วทำต่อเหมือนคุณ M@gpie ก็ได้ครับ ไหนๆก็เข้ามาตอบแล้ว ขอแปะโจทย์เพิ่มอีกข้อ หวังว่าคนทำคงไม่บ้าไปซะก่อน :P $$\int_1^2 \sqrt[4]{2+\sqrt{2x-1}}\,dx$$ เอารากที่สี่ออกก่อน
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 23 มีนาคม 2006 16:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#20
|
||||
|
||||
ลองทำนะครับ...
ให้ $\sqrt[4]{x} = \tan u $ $$\begin{array}{rcl}\int \frac{\tan u}{1+\tan^2u}\ d(\tan^4u)&=&\int\frac{\tan u}{ \sec^2u} d(\tan^4 u)\\ \because\quad d(\tan^4u)&=& 4\tan^3u\sec^2u \ du\\ ดังนั้น \quad \int \frac{\tan u}{\sec^2u}\ d(\tan^4u)&=&\int 4\tan^4u\ d u\\ \because\quad \int \tan^4u\ du&=&\int (\sec^2u-1)\tan^2u \ du \\ &=&\int\sec^2u\tan^2u\ du-\int\tan^2u \ du \\ &=&\int\tan^2u\ d(\tan u)-\int\sec^2u\ du+\int \ du\\ &=&\frac{\tan^3u}{3}-\tan u +u+C\\ \int 4\tan^4u\ du&=&4(\frac{\tan^3u}{3}-\tan u +u+C)\\ \because \ u&=&\arctan\sqrt[4]{x}\\ \int \frac{ \sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x}&=&4\big(\frac{x^{3/4}}{3}-\sqrt[4]{x}+\arctan{\sqrt[4]{x}}\big)\\ \therefore \int_0^{16} \frac{ \sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x}&=&4(\frac{8}{3}-2+\arctan 2)\\ &=&4(\frac{2}{3}+\arctan 2 ) \end{array}$$ กว่าจะได้ 1 ข้อ Edit: แก้ขอบเขตครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 22 มีนาคม 2006 16:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#21
|
|||
|
|||
ถูกแล้วล่ะครับ น้อง Mastermander แต่มี comment นิดเดียว ตรงการเขียนขอบเขตของ u กับ x อย่าเอามาปนกัน ก็จะดีนะครับ
งั้นแถมให้อีกข้อนึง (VTRMC 2005) Compute $ \int_{0}^{1} (e-1)\sqrt{ln(1+ex-x)}+e^{x^{2}} dx $ hint ให้นิดนึงว่า trick ที่ใช้ในข้อนี้ คล้ายๆกับ โจทย์บางข้อ เมื่อปลายปีที่แล้ว
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#22
|
||||
|
||||
เนื่องจากโจทย์ของคุณ Passer-by ผมทำไม่ได้แน่นอน ผมจึงเอาไปถามในเว็บบอร์ดวิชาการแล้วได้ความมาว่า
ซึ่งทำโดยคุณ GFK แล้วผมยัง งงๆอยู่ ตรงบรรทัดที่ ---** ทำไมขอบเขตเป็น 1 ถึง e ครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#23
|
||||
|
||||
1 และ e เป็นค่าของ u เมื่อ x=0 และ 1 ครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#24
|
|||
|
|||
ก่อนจะเฉลยข้อที่แล้ว แบบไม่ใช้ by parts ขอแปะให้อีกข้อนะครับ คราวนี้ ง่ายกว่าสามข้อแรกของผมหลายเท่าตัว และคงจะเป็นข้อสุดท้ายของผมแล้ว เพราะไม่รู้จะถามอะไรต่อดี
Compute $ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2}(x)}{(1+\cos x)^{2}}\, dx $ ส่วนข้อก่อนหน้านี้ ใช้หลักการเดียวกับ ข้อสอบสมาคม 2548 ข้อ34 คือมองฟังก์ชันเดียวกัน เป็น 2 มุมมอง จาก $ y= e^{x^{2}}$ ดังนั้น $ x= \sqrt {lny} $ ทำให้ $ \int_{0}^{1} e^{x^{2}} dx + \int_{1}^{e} \sqrt {lny} \, dy= \text{LOWER} +\text{UPPER}= (1)(e)=e $ (LOWER+ UPPER= พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 23 มีนาคม 2006 19:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#25
|
||||
|
||||
$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}dx=\int_0^{\pi/2}\frac{4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}{4\cos^4\frac{x}{2}}dx$$
$$\int_0^{\pi/2}\tan^2\frac{x}{2}\ dx = 2\int_0^{\pi/2}\sec^2\frac{x}{2}d(\frac{x}{2})-\int_0^{\pi/2}1\ dx$$ $$=[2\tan \frac{x}{2} - x]|_0^{\frac{\pi}{2}}=2-\frac{\pi}{2}$$ ถูกมั้ยครับ (อุตส่าห์ทำได้)
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#26
|
|||
|
|||
ถูกแล้วล่ะครับ น้อง Mastermander
แล้วอย่าลืม คำถามของคุณ nongtum ด้วยนะครับ ส่วนที่ผมบอกว่า ข้อที่แล้ว เป็นข้อสุดท้าย ถือเป็นโมฆะแล้วกันนะครับ เพราะลืมไปว่า ยังเหลือที่อยากถาม อีกข้อนึง (ไม่ถามล่ะเสียดายตายเลย) Compute $ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin x}{x} dx $ ข้อนี้ จะเป็นข้อสุดท้ายของผม จริงๆแล้วล่ะครับ (Hint : ข้อนี้ ใช้ By parts มาช่วย ประกอบกับ useful trick ที่เคยให้ไป) P.S. อีก 3 วัน จะกลับมาดูความคืบหน้าข้อนี้นะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#27
|
||||
|
||||
$$ \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}dx $$
Let $ x=\sin u$ $$\begin{array}{rcl}\int \frac{\arcsin x}{x}dx&=&\int \frac{u}{\sin u}d(\sin u)\\ &=&\int u (\cot u) du\\ &=&\text{what next}\end{array}$$ คือผมไปถามรุ่นพี่เอาแล้วได้ความมาว่า $\int \frac{\arcsin{x}}{x}dx=x $ ใช่หรือเปล่าครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 19 ตุลาคม 2006 12:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#28
|
||||
|
||||
ยังไม่ได้ทดนะครับ แต่ลองอินทิเกรตแยกส่วนด้านบนดูนะครับ อ่าจต้องหา $\int\cot x\ dx$ มาเก็บไว้ก่อนด้วย
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 26 มีนาคม 2006 07:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#29
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ตอนนี้ ก็ครบ 3 วันแล้ว งั้นผมเฉลยแบบละเอียดๆ เลยนะ ส่วนที่ 1 ส่วนที่ 2 ส่วนที่ 3
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 26 มีนาคม 2007 00:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: triple posts merged |
#30
|
||||
|
||||
ตัวปัญหาของผมคือ
$$ \int \ln(\sin x )\ dx=? $$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วย integrate ให้หน่อยครับ | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 22 มีนาคม 2005 08:27 |
การ integrate | xbox | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 04 ตุลาคม 2002 17:12 |
integrate | tana | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 01 พฤศจิกายน 2001 22:39 |
สูตรลดทอนของ integrate (sec x)^n | xlover13 | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 08 มิถุนายน 2001 09:25 |
ผม Integrate ข้อนี้ไม่ได้ | <ปอง> | Calculus and Analysis | 12 | 22 เมษายน 2001 19:31 |
|
|