ข้อสอบโอลิมปิกไทยปี 47 รอบแรก ตอน 2 ข้อ 9-10

[warut]

ให้ S = { A_i | iฮI } โดยที่ A_i เป็นเซ็ตที่ไม่ใช่เซ็ตว่าง "iฮI (Iนฦ ในที่นี้คือ index set นะครับ ไม่ใช่เซ็ตของจำนวนเต็ม)
Axiom of Choice กล่าวว่าสำหรับแต่ละ iฮI เราจะสามารถเลือกสมาชิกของ A_i มาตัวนึงได้เสมอ
ถ้าพูดแบบ "rigorous" ก็คือจะมีฟังก์ชัน f จาก S ไปยัง ศ_iฮIA_i ที่มีคุณสมบัติว่า f(A_i)ฮA_i "iฮI อยู่เสมอ
อันนี้เป็นรูปแบบหนึ่งของ Axiom of Choice ที่เรียกว่า "The Existence of a Choice Function" ครับ
ถ้าปราศจากสัจพจน์ข้อนี้เสียแล้วเราก็ไม่อาจแน่ใจได้ว่าจะมีฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเช่นนั้นอยู่จริงทุกครั้งไป
(นั่นคือไม่แน่ใจว่าจะทำการเลือกเช่นนั้นได้สำเร็จได้ทุกครั้ง)

[gon]

ขอบคุณครับ.

[TOP]

เอ่อ กร ตอบแบบไม่เปลืองแรงเลยนะ

ขอบคุณ คุณ warut อีกครั้งครับ สำหรับข้อมูลเรื่อง Axiom of Choice (อยากให้คุณ warut เขียนบทความถึงที่มาของ Axiom of Choice อย่างละเอียด จริงๆครับ คงจะมีอะไรสนุกหลายอย่าง ) แล้วอย่างการพิสูจน์ทฤษฏีต่างๆ ที่มีการเลือกบางค่ามาใช้ มันเกี่ยวกับ Axiom of Choice ไหมครับ

[warut]

ไม่จำเป็นต้องใช้ทุกครั้งครับ ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีเซ็ตอยู่ 3 เซ็ต นั่นคือ I = {1, 2, 3}
โดยที่ A₁ = {a, b, c, d}, A₂ = {c, d, e}, A₃ = {a}
เราก็สามารถที่จะ "เลือก" ได้อย่าง "explicitly" เช่น ผมเลือกให้
f(A₁) = d, f(A₂) = d, f(A₃) = a
อย่างนี้ไม่ต้องใช้ Axiom of Choice ผมก็บอกได้ว่าผม "เลือก" ได้สำเร็จ
แต่ถ้า index set I น ฦ ของเราเป็นเซ็ตอะไรก็ไม่รู้
และสำหรับแต่ละ iฮI เราก็ไม่รู้ว่า A_i คืออะไร
รู้แค่ว่ามันไม่ใช่เซ็ตว่าง อย่างนี้จำเป็นต้องใช้แน่ครับ

ยังไงก็ต้องขอบคุณคุณ gon และคุณ TOP ที่ให้การสนับสนุนในเรื่องที่
ผมจะเขียนนะครับแม้โอกาสสำเร็จจะมีค่าน้อยกว่า e "e>0