หรม....

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$ \because \ \ \ 135^{90} - 45^{90} = 3^{90} \cdot 45^{90} - 45^{90}$

$ = 45^{90}(3^{90} -1) = \dfrac{90^{90}}{2^{90}} (3^{90} -1)$


$\dfrac{135^{90} - 45^{90}}{90^2} = \dfrac{90^{90}(3^{90} -1)}{(2^{90})(90^2)}$

$= \dfrac{90^{88}(3^{90} -1)}{(2^{90})}$

ต่อให้ครับ ง่ายกว่าของผม

$=\dfrac{90^{88}(9^{45}-1)}{2^{90}}$

$=\dfrac{90^{88}(9-1)(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1)}{2^{90}}$

$=\dfrac{90^{88}(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1)}{2^{87}}$

$=90\cdot 45^{87}(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1)$

ดังนั้น

$(\dfrac{135^{90} - 45^{90}}{90^2},90^2)=(90\cdot 45^{87}(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1),90^2)$

$=90\cdot 45(45^{86}(9^{44}+\cdots+9+1),2)$

$=90\cdot 45$

เนื่องจาก $9^{44}+\cdots+9+1$ เป็นจำนวนคี่

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

$135^{90} = (\frac{3}{2})^{90} \times 90^{90}$

$45^{90} = (\frac{1}{2})^{90} \times 90^{90}$

$135^{90} - 45^{90}= \frac{3^{90} -1}{2^{90}} \times 90^{90}$


$\frac{135^{90} - 45^{90}}{90^2} = \frac{3^{90} -1}{2^{90}} \times 90^{88}$


หรม = $90^2$

แน่ใจเหรอคับว่า $$\frac{3^{90}-1}{2^{90}}$$ เป็นจำนวนเต็ม

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ต่อให้ครับ ง่ายกว่าของผม

$=\dfrac{90^{88}(9^{45}-1)}{2^{90}}$

$=\dfrac{90^{88}(9-1)(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1)}{2^{90}}$

$=\dfrac{90^{88}(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1)}{2^{87}}$

$=90\cdot 45^{87}(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1)$

ดังนั้น

$(\dfrac{135^{90} - 45^{90}}{90^2},90^2)=(90\cdot 45^{87}(9^{44}+9^{43}+\cdots+9+1),90^2)$

$=90\cdot 45(45^{86}(9^{44}+\cdots+9+1),2)$

$=90\cdot 45$

เนื่องจาก $9^{44}+\cdots+9+1$ เป็นจำนวนคี่

ขอบคุณท่านnooonuii ครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

แน่ใจเหรอคับว่า $$\frac{3^{90}-1}{2^{90}}$$ เป็นจำนวนเต็ม

ขอบคุณ คุณ yuranan ครับ ผมพลาดที่ไม่ได้เช็คตรงนี้

ขอบคุณ คุณ nooonuii ที่แก้ไขให้ด้วยครับ

[Mol3ilE]

[quote=yellow;118837]งั้นคิดแบบเด็ก ม.ต้น

$3^1 - 1 = 2$

$3^2 - 1 = 8 = 2(1 + 3)$

$3^3 - 1 = 26 = 2(1 + 3 + 3^2)$

$3^4 - 1 = 80 = 2(1 + 3 + 3^2 + 3^3)$

$3^5 - 1 = 242 = 2(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4)$

$3^6 - 1 = 728 = 2(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5)$


$\therefore 3^{120} - 1 = 2(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{119})$

$3^{450} - 1 = 2(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{449})$




$1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{449} = (3^{330}+ 3^{210} + 3^{90}) (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{119})+ (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{89})$


$1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{119} = 3^{30} (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{89}) + (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{29})$

$1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{89} = (3^{60} + 3^{30} + 1) (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{29})$

หรม เท่ากับ

$2(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{29})$ = $3^{30} - 1$


งงตรงนี้อ่ะครับ

[Keehlzver]

มันมีจุดผิดอยู่ตรงนี้ครับ ที่ตอบ $90^2$
จาก $\frac{90^{86}(3^{90}-1)}{2^{86}\cdot 2^4}=\frac{45^{86}(3^{90}-1)}{16}$ $16\nmid 45^{86}$ และ $(16,45^{86})=1$ ต้องได้ว่า $16\mid 3^{90}-1$

แต่ว่า $3^4\equiv 1 \pmod{16}$ ดังนั้น $3^{88}\equiv 1 \pmod{16}$ นั่นคือ $3^{90}\equiv 9 \pmod {16}$
เพราะฉะนั้น $3^{90}-1\equiv 8 \pmod{16}$ ทำให้ $\frac{45^{86}(3^{90}-1)}{16}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม