ปัญหาชั่งน้ำหนัก

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

4 ครับ (1,3,9,27)

ตามนั้น

เยี่ยมครับ มองออกกันไหมว่าทำไมน้อยสุดแล้วครับ แล้วก็เวลาจะชั่งให้ได้น้ำหนักต่างๆมีวิธีคิดว่าจะวางตุ้มเหล่านี้ยังไงครับ

[poper]

ทำไมถึงน้อยสุดยังคิดเหตุผลไม่ออกครับ แต่ถ้าน้อยกว่านี้คงไม่ได้แล้วมั้ง
ส่วนวิธีการชั่งก็ต้องคิดนิดนึงครับเช่น
ถ้าของที่มีน้ำหนัก 5 กก. อีกข้างต้องวางตุ้มน้ำหนัก 9 กก.
แล้วค่อยๆเพิ่มตุ้มน้ำหนักด้านซ้ายซึ่งพอเราเพิ่มตุ้มน้ำหนัก 3กก. และ 1กก.เข้าไป ทั้งสองข้างจะเท่ากันพอดี
นั่นคือเราก็จะรู้ว่า น้ำหนักของคือ 5กก. ครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

4 ครับ (1,3,9,27)

ตามนั้น

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ coke

เอ่อมันแค่โจทย์น่ะครับยังไม่ได้ใช้จริงครับอย่าเพิ่งคิดมาก

มีใช้จริงครับ เวลาเลือกซื้อ ลูกต้มน้ำหนักมาตรฐาน สำหรับสอบเทียบ (Calibrate) ตาชั่ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

เยี่ยมครับ มองออกกันไหมว่าทำไมน้อยสุดแล้วครับ แล้วก็เวลาจะชั่งให้ได้น้ำหนักต่างๆมีวิธีคิดว่าจะวางตุ้มเหล่านี้ยังไงครับ

- ลูกแรก เลือก 1

ชั่ง นน. ได้ 1 (ชั่งได้ถึง 1)

- ลูกสอง เลือกลูกที่ได้ผลต่างจากการชั่งที่ได้ 2 คือ 3

ชั่ง นน. ได้

3 - 1 = 2

3

3 + 1 = 4

(ชั่งได้ถึง 4)

- ลูกสาม เลือกลูกที่ได้ผลต่างจากจากการชั่งที่ได้ 5 คือ 9

ชั่ง นน. ได้

9 - (1+3) = 5

...

9 + (1+3) = 13

(ชั่งได้ถึง 13)

- ลูกสี่ เลือกลูกที่ได้ผลต่างจากจากการชั่งที่ได้ 14 คือ 27

ชั่ง นน. ได้

27 - (1+3+9) = 14

...

27 + (1+3+9) = 40



เคยทำโจทย์ที่เป็นตุ้มน้ำหนัก 1,2,5,10,15,20,25 เลยไม่ได้ดูว่าต่างกับข้อนี้

[Onasdi]

วิธีมองว่า 4 ก้อนน้อยที่สุดแล้วนะครับ
สำหรับตุ้มน้ำหนักแต่ละก้อน เราสามารถที่จะวางมันฝั่งตรงข้ามกับของที่จะชั่ง หรือวางฝั่งเดียวกับของ หรือไม่วางเลย
นี่คือวิธีทั้งหมดที่เราทำกับมันได้ที่จะมีผลต่อน้ำหนัก ดังนั้นเราเลือกวางแต่ละก้อนได้ 3 วิธี
เพราะฉะนั้นด้วยตุ้มน้ำหนัก n ก้อน เราสามารถสร้างน้ำหนักได้อย่างมาก $3^n$ แบบครับ
เราต้องการน้ำหนัก 40 แบบ นั่นก็คือต้องการ $3^n\geqslant 40$
ซึ่งแปลว่า n น้อยกว่า 4 ไม่ได้ครับ

ผมยังรอวิธีคิดแบบง่ายๆว่าจะวางตุ้มน้ำหนักยังไงสำหรับน้ำหนักต่างๆอยู่นะครับ

[Puriwatt]

จากโจทย์ดูแล้วพอประเมินได้ว่า น้ำหนักระบุสินค้าเป็นจำนวนเต็มและสามารถเรียงค่าเป็นลำดับเลขคณิตได้
ถ้าชั่งกันสดๆ เราคงต้องใช้ 4 ชิ้นแบบวิธีของคุณ Amankris บอกครับ

แต่ในกรณีที่พ่อค้ามีเวลาเตรียมตัวพอและมีระบบการจัดการที่ดี ก็สามารถใช้วิธีชั่งได้ด้วยตุ้ม 1 กกเพียงลูกเดียวได้
โดยวิธีเตรียมสินค้ามีดังนี้
1.เอาตุ้มมาตรฐาน 1 กก.วาง แล้วหาสินค้ามาวาง ถ้าสมดุลย์กันแสดงว่ามีน้ำหนัก 1 กก (ให้ติดป้ายระบุน้ำหนักเลย)
2.ย้ายตุ้มไปอยู่กับสินค้าที่ชั่งแล้ว(1 กก.) หาสินค้ามาวางจนสมดุลย์กันแสดงว่ามีน้ำหนัก 2 กก แล้วติดป้ายน้ำหนักเลย
3.ทำไปเรื่อยๆ ทีละระดับน้ำหนักจนครบทุกชิ้น แล้วจัดเก็บสินค้าทั้งหมดเรียงตามระดับน้ำหนัก (ตอนขายจะได้รวดเร็ว)
** อาจจะจัดเรียงเป็นกลุ่มๆ หลายแถว+หลายชั้น โดยปกติจะเอาของหนักๆ มักจะอยู่ชั้นล่าง **

เราจะพบว่าแม้เราจะมีต้นทุนตุ้มน้ำหนักน้อยและเครื่องชั่งแบบง่ายๆ ก็สามารถจัดการทุกอย่างได้เหมือนกัน
ความอดทนและการจัดการที่ดีสามารถช่วยให้เราสามารถทำงานได้ ลองคิดดูว่าตอนขายใครจะสะดวกกว่ากัน

เป็นคำตอบแบบตอบเล่นๆ เชิงปรัชญา ไม่ได้เน้นความถูกต้องเท่าไรนัก แต่น่าคิดตามครับ

[Keehlzver]

มันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ตุ้มน้ำหนักที่หนัก $1,3,3^2,3^3,...$ กรัม สามารถนำมาชั่งของที่หนัก $n$ กรัมใดๆได้ด้วยตาชั่งสองแขน และวิธีที่ชั่งทำได้แค่วิธีเดียวเท่านั้นครับ

วิธีที่ทำก็ Generating function อีกนั่นแหละ

สรุปเป็นกรณีทั่วไปได้ว่าน้ำหนัก $1,3,3^2,...,3^r$ ใช้ชั่งจำนวนเต็มได้ตั้งแต่ $1$ ถึง $\frac{(3^r-1)}{2}$
ถ้ากรณีที่ $r=5$ มีตุ้ม 5 ตัวหนัก $1,3,9,27,81$ ก็จะชั่งน้ำหนักได้ตั้งแต่ $1$ ถึง $60$

เวลาจะเอาโจทย์มาประยุกต์เป็น Puzzle ก็ถามว่า
มีของหนัก $1,2,3,...,60$ จะชั่งของนี้ด้วยตาชั่งสองแขน ต้องชั่งด้วยตุ้มน้ำหนักน้อยที่สุดกี่ตุ้ม
ก็ตอบ 5 ตุ้ม $(1,3,9,27,81)$