#286
|
||||
|
||||
$40.\int\frac{1}{x^2+2ax+b} \,dx$
$จาก x^2+2ax+b = (x^2+2ax+a^2) - (a^2-b)$ $= (x+a)^2 - (\sqrt{a^2 - b} )^2$ $= (x+a+\sqrt{a^2 - b})(x+a-\sqrt{a^2 - b})$ $ดังนั้น\frac{1}{x^2+2ax+b} = \frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b})(x+a-\sqrt{a^2 - b})}$ $=\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}}(\frac{1}{(x+a-\sqrt{a^2 - b}}-\frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b}})$ $จะได้ว่า \int\frac{1}{x^2+2ax+b} \,dx $ $=\int\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}} (\frac{1}{(x+a-\sqrt{a^2 - b}} - \frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b}})\,dx $ $= \frac{1}{2\sqrt{a^2-b}} \int\frac{1}{(x+a-\sqrt{a^2 - b}}-\frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b}})\,dx $ $= \frac{1}{2\sqrt{a^2-b}} [ln(x+a-\sqrt{a^2 -b}) - ln(x+a+\sqrt{a^2-b})] + C$ |
#287
|
||||
|
||||
ขออนุญาตใช้เเบบสเกนนะครับ พิมพ์ Latex เมื่อกี้เหนื่อยมาก
|
#288
|
||||
|
||||
ต่อจากอันก่อนนะครับ มีอะไรที่ผิดก็บอกด้วยนะครับ ไม่มั่นใจเท่าไร
|
#289
|
|||
|
|||
\[
\int {e^{ - x} \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx = \int {e^{ - x} \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)} } dx = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\int {e^{ - x} \sin xdx + \int {e^{ - x} \cos xdx} } } \right) \] \[ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - e^{ - x} \cos x - \int {e^{ - x} \cos xdx} + \int {e^{ - x} \cos xdx} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}e^{ - x} \cos x + c \] |
#290
|
|||
|
|||
ให้ $x=\tan \theta$ จะได้
\[ \int {\frac{{\ln x}}{{\left( {1 + x^2 } \right)^{\frac{3}{2}} }}dx = \int {\cos \theta \ln \left( {\tan \theta } \right)d} } \theta = \sin \theta \ln \left( {\tan \theta } \right) - \int {\sec \theta d\theta } \] \[ = \sin \theta \ln \left( {\tan \theta } \right) - \ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right| + c = \frac{{x\ln x}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} - \ln \left| {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right| + c \] |
#291
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\[ \int {\tan \theta } \sqrt {\cos \theta } \ln \left( {\cos \theta } \right)d\theta = - 2\int {\ln \left( {u^2 } \right)du = - 2\left( {u\ln \left( {u^2 } \right) - 2\int {du} } \right)} \] \[ = - 2u\ln \left( {u^2 } \right) + 4u + c = - 2\sqrt {\cos \theta } \ln \left( {\cos \theta } \right) + 4\sqrt {\cos \theta } + c \] |
#292
|
|||
|
|||
ให้ $u = \sqrt {1 - \cos x}$ จะได้
\[ \int {\frac{{dx}}{{\sin x\sqrt {1 - \cos x} }}} = 2\int {\frac{{du}}{{1 - \left( {1 - u^2 } \right){}^2}}} = 2\int {\frac{{du}}{{u^2 \left( {2 - u^2 } \right)}} = \int {\left( {\frac{1}{{u^2 }} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\frac{1}{{u - \sqrt 2 }} - \frac{1}{{u + \sqrt 2 }}} \right)} \right)} } du \] \[ = - \frac{1}{u} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{u - \sqrt 2 }}{{u + \sqrt 2 }}} \right| + c = - \frac{1}{{\sqrt {1 - \cos x} }} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - \cos x} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - \cos x} + \sqrt 2 }}} \right| + c \] |
#293
|
||||
|
||||
33. $$\int x^5\tan^{-1}{x^2} \, dx$$
$ให้ m = x^2 แล้ว by part ได้ \frac{1}{6}arctanm - \frac{1}{6}\int\frac{m^3}{1+m^2} \,dm $ $\int\frac{m^3}{1+m^2} \,dx หาได้โดย ให้ m = tan\theta จะได้\int tan^3 \theta \, d\theta $ $ให้ cos\theta = k จะได้ = \frac{1}{2cos^2 \theta } + ln cos\theta $ $แล้วแทนกลับทุกอย่างเข้าไป$ $จะได้ \frac{1}{6}x^6 arctanx^2 - \frac{x^4 + 1}{12} - \frac{1}{6} ln\frac{1}{\sqrt{x^4 + 1} } + C $ ไม่รู้ว่าถูกไหม ดูมันเเปลกๆ ยังไงก็ช่วย Check ให้ด้วยนะครับ 06 พฤษภาคม 2010 19:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Suwiwat B |
#294
|
||||
|
||||
ทำกันเร็วจัง = =a
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#295
|
||||
|
||||
แต่ผมไม่รู้ว่าที่เเก้ไปมันถูกหรือเปล่านะครับ
|
#296
|
||||
|
||||
ถูกหมดครับ ตอนนี้ - -a
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี 06 พฤษภาคม 2010 22:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -InnoXenT- |
#297
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\[ \int\limits_{e^{\sqrt 2 } }^{e^2 } {\left( {\ln \left( {\ln x} \right) + \frac{1}{{\ln x}}} \right)dx} = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {\ln \left( u \right) + \frac{1}{u}} \right)e^u du = } \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {e^u \ln udu + \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{e^u }}{u}du} } \] \[ = \left[ {e^u \ln u} \right]_{\sqrt 2 }^2 - \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{e^u }}{u}du + \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{e^u }}{u}du} } = e^2 \ln 2 - e^{\sqrt 2 } \ln \sqrt 2 \] |
#298
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\int\limits_e^{e^2 } {\frac{{1 + \left( {\ln x} \right)\left( {\ln \left( {\ln x} \right)} \right)}}{{\ln x}}} dx = \int\limits_e^{e^2 } {\frac{1}{{\ln x}}} dx + \int\limits_e^{e^2 } {\ln \left( {\ln x} \right)} dx = \int\limits_e^{e^2 } {\frac{1}{{\ln x}}} dx + \left[ {x\ln \left( {\ln x} \right)} \right]_e^{e^2 } - \int\limits_e^{e^2 } {\frac{1}{{\ln x}}} dx = e^2 \ln 2 \] |
#299
|
||||
|
||||
ถูกต้องครับ เล่นกัน อยู่สองสามคน
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#300
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
$$ 2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos{x} \, dx $$
__________________
I'm kak. |
|
|