#346
|
|||
|
|||
ถ้าทำมาถูกทาง ข้อนี้มี 8 คำตอบ และทุกค่ามีแต่ 2,3 เป็น prime divisor (ยกเว้น 1)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#347
|
|||
|
|||
ตอนผมจะทำเพื่อหา ตัวประกอบเฉพาะ n ผมได้ว่า ว่า n มีตัวประกอบเฉพาะ 3 ตัวอ่ะครับ
แล้วผมก็ลองว่าถ้ามันมากกว่า 7 ทุกตัว มันจะขัดแย้ง แต่พอมี 2 ตัวเป็น 2 หรือ 3 แล้วตัวอื่นมันก็จริงหมดเลยอ่ะครับ จาก $n \leq \sum_{i=1}^n p_i^2$ ผมสมามารถตัดได้ว่า $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3} \leq p_1^2+p_2^2+p_3^2$ โดยที่ $\alpha_i \in{ {1,2,3}}$ (กำลังตัวใดตัวนึงเป็น 0 ค่อยคิดทีหลัง) ตามที่บอกว่ามากกว่า 7 ทุกตัวมันก็ขัดแย้ง แต่พอลองแทน 2,3,31 หรือ 2,3,71 มันก็จริงผมเลยไม่รู้ว่าจะไปไงต่ออ่ะครับ |
#348
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โจทย์บอกว่า จำนวนเฉพาะที่ > 3 นะครับ ทำไมถึงแทน 2,3 ล่ะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#349
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
งั้นแสดงว่าผมน่าจะเริ่มผิดตั้งแต่แรกเลยอ่ะครับที่บอกว่า $n= \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$ 27 เมษายน 2012 21:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th |
#350
|
||||
|
||||
มีใครทำข้อของผมแล้วบ้าง อยากเห็น Solution จัง *O*
แนะนำครับ มีข้อสอบ TST ของฮ่องกงครับ http://db.math.ust.hk/resource_shari...esource_03.htm
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 27 เมษายน 2012 22:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#351
|
||||
|
||||
#350 Hint ต่อจาก Andormedra ทีคับ ไม่ทันจริงๆ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#352
|
||||
|
||||
อสมการที่เกี่ยวกะสี่เหลี่ยมไงครับ อะไรเอ่ย...
Ptolemy's Inequality นั่นเอง
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#353
|
||||
|
||||
ขอ hint ข้อนี้หน่อยครับ GI นี่ไปไม่ถูกเลย
__________________
keep your way.
|
#355
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
note:เนื่องจาก$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมจะได้ว่า$1>cosA,cosB,cosC>0$ ให้ $X,Y,Z$ อยู่บน $BC,AC,AB$ และ $PX\bot BC,PY\bot AC,PZ\bot AB $ จะได้ $PX=d_a,PY=d_b,PZ=d_c$ เนื่องจาก $A,Y,P,Z Concyclic \Rightarrow \angle PAY=\angle PZY$ โดยกฎของไซน์ใน $\triangle PZY $จะได้$ \frac{YZ}{sin(180^\circ -A)} =\frac{PY}{sin(\angle PZY)}=\frac{PY}{sin(\angle PAY)}=\frac{PY\bullet PA}{PY}=PA \Rightarrow YZ=PAsinA $ โดยกฎของโคไซน์ใน $\triangle PZY $ จะได้ $YZ^2=d_b^2+d_c^2-2d_bd_ccos(180^\circ -A)\Rightarrow (PAsinA)^2=d_b^2+d_c^2+2d_bd_ccosA$ ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $(PBsinB)^2=d_c^2+d_a^2+2d_cd_acosB$ และ $(PCsinC)^2=d_a^2+d_b^2+2d_ad_bcosC$ จะได้ $$\sum_{cyc} (PA \sin (\frac{A}{2}))^2=\sum_{cyc} (\frac{PAsinA}{2cos(\frac{A}{2} )} )^2=\sum_{cyc} (\frac{(PAsinA)^2}{4cos^2(\frac{A}{2} ) })=\sum_{cyc} (\frac{d_b^2+d_c^2+2d_bd_ccosA}{2cosA+2})= \sum_{cyc}(\frac{(d_b-d_c)^2}{2cosA+2}+d_bd_c)$$ จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$d_a^2+d_b^2+d_c^2\geqslant \sum_{cyc}(\frac{(d_a-d_b)^2}{2cosC+2})+d_ad_b+d_bd_c+d_ad_c\geqslant \frac{(d_a+d_b+d_c)^2}{3} $$ พิจารณาข้างซ้าย จะได้อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} (d_a-d_b)^2\geqslant \sum_{cyc}(\frac{(d_a-d_b)^2}{cosC+1})\Leftrightarrow \sum_{cyc}(d_a-d_b)^2(\frac{cosC}{cosC+1} )\geqslant 0$$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง (SOS Theorem) และพิจารณาข้างซ้าย จะได้อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc}(\frac{3(d_a-d_b)^2}{2cosC+2})+d_ad_b+d_bd_c+d_ad_c\geqslant d_a^2+d_b^2+d_c^2\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{3(d_a-d_b)^2}{cosC+1})\geqslant \sum_{cyc} (d_a-d_b)^2 \Leftrightarrow \sum_{cyc}(d_a-d_b)^2(\frac{2-cosC}{cosC+1} )\geqslant 0$$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง (SOS Theorem) และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $d_a=d_b=d_c$ หรือ $P$ เป็นจุด Incenter ของ $\triangle ABC \square$ รบกวนตรวจวิธีทำทีครับ แล้วสร้างรูปเรขาคณิตนี่ใช้โปรแกรมอะไรกันหรอครับ 30 เมษายน 2012 19:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ AnDroMeDa |
#356
|
||||
|
||||
สุดยอดมากครับ
การสร้างรูป ใช้ GSP หรือ Geogebra ก็ได้ครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 30 เมษายน 2012 14:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#357
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จาก Dirichlet theorem จะได้ว่า มีจำนวนเฉพาะในรูป mk+1 เป็นอนันต์ โดย m เป็นจำนวนเต็มค่าหนึ่ง ให้ $p_1, p_2 ... $ แทนจำนวนเฉพาะในรูป mk+1 โดยเรียงลำดับจากมากไปน้อย และจาก Chinese Remainder Theorem จะได้ว่า สมการคอนกรูเอนซ์ $a \equiv 0 \pmod{p_1} ,a \equiv (p_2)-1 \pmod{p_2}, ... ,a \equiv (p_{n+1})-n \pmod{p_{n+1}} $ มีคำตอบในมอดุโล $p_1p_2...p_n$ ซึ่งคำตอบดังกล่าวจะทำให้ $ m | \phi(a+i)\,\, ,\forall i = 0,1,..,n$ ครับผม 30 เมษายน 2012 17:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#358
|
|||
|
|||
คราวนี้มาลองดูข้อง่ายๆกันครับ
Let $P$ be a point inside $\Delta ABC$, and $AP,BP,CP$ meet $BC,CA,AB$ at $L,M,N$ respectively. Find the position of $P$ for which$(\frac{AP}{AL} )^2+(\frac{BP}{BM} )^2+(\frac{CP}{CN} )^2$ is minimum. |
#359
|
||||
|
||||
$P$ เป็นจุด centroid หรือเปล่าครับ ค่าน้อยสุดคือคือ $\frac{4}{3}$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 01 พฤษภาคม 2012 00:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#360
|
|||
|
|||
# 355 (Andromeda)
ก็ไม่น่ามีอะไรผิดนะครับ ตรง SOS ผมไม่ได้ check เพราะผมไม่ได้เป็นมือโปรด้านนี้ อีกวิธีที่ทำได้ คือ พอเราได้ $ PA \sin^2 A = d_b^2+d_c^2 +2d_bd_c \cos A $ แล้ว ขวามือใช้ AM -GM จะได้ $ \leq (d_b^2+d_c^2)(1 + \cos A) $ จากนั้น ทั้ง 2 ข้างของอสมการ ใช้สูตรตรีโกณเปลี่ยนให้ติด $\frac{A}{2}$ .....ท้ายที่สุดจะได้ $ (PA \sin \frac{A}{2} )^2 \leq \frac{d_b^2+d_c^2}{2}$ เท่ากับว่าจบไปครึ่งทาง ส่วนอีกครึ่งทาง start จาก $ PA \sin^2 A = d_b^2+d_c^2 +2d_bd_c \cos A $ เหมือนเดิม และ จัดรูป ขวามือ เป็น $ (d_b+d_c)^2 -2d_bd_c(1-\cos A) \geq (d_b+d_c)^2 -2(\frac{d_b+d_c}{2})^2(1-\cos A) = (d_b+d_c)^2 (\frac{1}{2})(1+\cos A) $ Simplify เป็น half angle จะได้ $ (PA \sin \frac{A}{2} )^2 \geq (\frac{d_b+d_c}{2})^2 $ ที่เหลือ apply อสมการ $ x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2$ ------------------------------------------------------------------------- # 357 (Beatmania) สิ่งที่คุณ Beatmania ทำไว้ มีแต่อ้าง Dirichlet theorem ว่ามี จำนวนเฉพาะ $ p_i \equiv 1 \pmod m $ กับใช้ C.R.T. เพื่อบอกว่า มี a เป็นอนันต์ที่ $ p_i | a+i $ แต่ไม่ได้เชื่อมโยงกับ $ \phi$ ให้ดูเลยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
|
|