marathon:ม.ปลาย

[tongkub]

ลองดูหน่อยละกันครับ

หาจุดศก.ของวงรีเฉียง ได้เป็น $(36 , \dfrac{33}{2})$ และหาระยะ c จากจุดโฟกัสได้เป็น $\dfrac{13\sqrt{29}}{2}$

จุดที่สัมผัสอยู่บนแกน y สมมุติให้เป็นจุด $(0,y)$ และจากการลองวาดรูปวงรีเฉียงออกมา พบว่าถ้าจะสัมผัสต้องเป็นจุดปลายแกนโทเท่านั้น

จากนิยามวงรี ระยะห่างจากจุดๆใดบนวงรี ไปถึงจุดโฟกัสทั้ง 2 รวมกันจะได้เท่ากับ 2a

$PF_1 + PF_2 = 2a$

$\sqrt{(49-0)^2 + (49-y)^2} + \sqrt{(23-0)^2 + (-16 - y)^2 } = 2a$

และจาก $a^2 = b^2 + c^2$

$a^2 = ((0-36)^2 + (y - \dfrac{33}{2})^2) + \dfrac{4901}{4}$

แก้สมการ จะได้ $a = \dfrac{97\sqrt{29}}{10} y = \dfrac{309}{10}$

ระยะแกนเอก $= 2a = \dfrac{97\sqrt{29}}{5}$

นี่ครับ รบกวนช่วยดูให้ด้วยนะครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

พบว่าถ้าจะสัมผัสต้องเป็นจุดปลายแกนโทเท่านั้น

ผมว่าตรงนี้ยังไม่ใช่นะครับ ลองคิดดูดีๆ

[tongkub]

ยังไม่เข้าใจครับ หมายถึงว่าจุดปลายแกนเอกก็เป็นจุดสัมผัสได้ หรือทุกจุดก็เป็นจุดสัมผัสได้ครับ

[lek2554]

ผมให้ความยาวของ major axis เท่ากับ 97 เขียนกราฟได้ดังรูป ถูกมั้ยครับ



ผมลองเปลี่ยนจุดโฟกัสเป็น (4.4) กับ (1,-1) ความยาวของ major axis เท่ากับ $5\sqrt{2}$ จะได้ว่าสัมผัสแกน y ที่จุด (0,0) ดังรูป




แก้สมการโดยใช้ discriminant คิดเยอะมาก ไม่ทราบว่าคุณ Amankris มีวิธีอื่นหรือเปล่าครับ

[Amankris]

@#424
ได้คำตอบ ถูกแล้วนะครับ

นี่ Soln ผม

Solution

กำหนด $A(49,49), B(23,-16), C(-23,-16)$ และ Major Axis ยาว $2a$

ให้ $P$ เป็นจุดสัมผัสบนแกน Y และ $Q$ เป็นจุดตัดของ $AC$ กับแกน Y
จะได้ว่า $Q$ ไม่อยู่ภายในวงรี ดังนั้น $2a\leq AQ+QB$

แต่ $AQ+QB=AQ+QC=AC\leq AP+PC=AP+PB=2a$

จะได้ว่า $AQ+QB=AP+PB$ นั่นก็คือ $P$ และ $Q$ เป็นจุดเดียวกัน
ดังนั้น $2a=AQ+QB=AQ+QC=AC=97$

[lek2554]

ขอคารวะ soln ของคุณ Amankris ครับ

ผมคิดเองแบบนี้ไม่ได้แน่ครับ

[tongkub]

รบกวนคุณเล็กช่วยลง sol แบบ discriminant ให้ด้วยได้ไหมครับ

[lek2554]

@#427

สมการวงรี $\sqrt{(x-49)^2+(y-49)^2}+ \sqrt{(x-23)^2+(y+16)^2}=2a=A$

สัมผัสแกน $Y ;\sqrt{(0-49)^2+(y-49)^2}+ \sqrt{(0-23)^2+(y+16)^2}=A$

$\sqrt{y^2-98y+4902}+\sqrt{y^2+32y+785}=A$

จัดรูปสมการจะได้ $(4A^2-16900)y^2+(1044420-132A^2)y+(11174A^2-A^4-16136289)=0$

กราฟสัมผัสแกน $Y; discriminant = 0$

$(1044420-132A^2)^2-4(4A^2-16900)(11174A^2-A^4-16136289) = 0$

$A = 97$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

@#424
ได้คำตอบ ถูกแล้วนะครับ

นี่ Soln ผม

Solution

กำหนด $A(49,49), B(23,-16), C(-23,-16)$ และ Major Axis ยาว $2a$

ให้ $P$ เป็นจุดสัมผัสบนแกน Y และ $Q$ เป็นจุดตัดของ $AC$ กับแกน Y
จะได้ว่า $Q$ ไม่อยู่ภายในวงรี ดังนั้น $2a\leq AQ+QB$

แต่ $AQ+QB=AQ+QC=AC\leq AP+PC=AP+PB=2a$

จะได้ว่า $AQ+QB=AP+PB$ นั่นก็คือ $P$ และ $Q$ เป็นจุดเดียวกัน
ดังนั้น $2a=AQ+QB=AQ+QC=AC=97$

ขอบคุณมากครับ
อย่างนี้เราก็สรุปได้ว่า

ความยาว Major Axis ของวงรี ที่สัมผัสแกนY ทางควอดรันต์ที่1 หรือ 4 และมีจุดโฟกัสคือ (a,b) และ (c,d) โดยที่ a>c คือ ความยาวระหว่างจุด (a,b) และ (-c,d)
ความยาว Major Axis ของวงรี ที่สัมผัสแกนY ทางควอดรันต์ที่2 หรือ 3 และมีจุดโฟกัสคือ (a,b) และ (c,d) โดยที่ a>c คือ ความยาวระหว่างจุด (-a,b) และ (c,d)
และ
ความยาว Major Axis ของวงรี ที่สัมผัสแกนx ทางควอดรันต์ที่1 หรือ 2 และมีจุดโฟกัสคือ (a,b) และ (c,d) โดยที่ b>d คือ ความยาวระหว่างจุด (a,b) และ (c,-d)
ความยาว Major Axis ของวงรี ที่สัมผัสแกนx ทางควอดรันต์ที่3 หรือ 4 และมีจุดโฟกัสคือ (a,b) และ (c,d) โดยที่ b>d คือ ความยาวระหว่างจุด (a,-b) และ (c,d)

[-InnoXenT-]

Prove that

$$\displaystyle{\sum_{n = 1}^{90}2n\sin{2n^{\circ}} = 90\cot{1^\circ}} $$

[LightLucifer]

http://www.wolframalpha.com/input/?i...28ipi%2F180%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=90+cot(pi%2F180)
มันออกมาไม่เท่ากันอ่ะครับ

[Amankris]

ฮาเลยทีนี้

[-InnoXenT-]

ขอโทษครับ ผมพิมพ์โจทย์ผิด ตอนนี้แก้แล้วนะครับ

[Suwiwat B]

ถูกผิดอะไรก็ชี้แนะด้วยนะครับ
$\sum_{n = 1}^{90}2nsin2n$
$= 2sin2 + 4sin4 + 6sin6 + ... + 178sin178 + 180sin180$
$= (2sin2 + 178sin178) + (4sin4 + 176sin176) + ... + (88sin88 + 92sin92) + 90sin90$
$= (2sin2 + 178sin2) + (4sin4 + 176sin4) + ... + (88sin88 + 92sin88) + 90$
$= 180sin2 + 180sin4 + ... + 180sin88 + 90$
$= 90(2sin2 + 2sin4 + ... + 2sin88) + 90$
$= \frac{90}{sin1}(2sin1sin2 + 2sin1sin4 + ... + 2sin1sin88) + 90$
$= \frac{90}{sin1}(cos1 - cos3 + cos3 - cos5 + ... + cos87 -cos89) + 90$
$= \frac{90}{sin1}(cos1 - cos89) + 90$
$= \frac{90}{sin1}(cos1 - sin1) + 90$
$= 90(\frac{cos1}{sin1} - 1 + 1 )$
$= 90cot1$

[-InnoXenT-]

ถูกครับ ตั้งโจทย์ต่อไปเลยครับ ไม่งั้นเดี๋ยวผมให้โจทย์ต่อนะ