|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
การหาค่ารากที่เป็นจำนวนจริงของสมการกำลังสาม
หลังจากการค้นคว้าข้อมูลเกี่ยวกับสมการพหุนามกำลังสามมาพอสมควร วิธีการหารากของสมการถ้าใครสะดวกใช้สูตรของคาร์ดานก็ตามสบายครับ(ถ้ามีเวลาลองใช้ดู...ได้ผลยังไงบอกผมด้วย) แต่ผมจะขอเสนอวิธีการหาอีกแบบหนึ่งในแบบ engineering style คือขอให้มีเครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดินสอ 1 แท่ง กระดาษ A4 1 ใบ เป็นใช้ได้ใช้เวลาไม่นานครับ ยกตัวอย่างเช่น
ตัวอย่างที่ 1 จงหารากของสมการ $2x^{3}-12x^{2}+22x-11=0$ วิธีทำ 1. จากโจทย์ได้ $A=2,B=-12,C=22,D=-11$ 2. ตรวจสอบว่า $B^{2}-3AC$ อยู่กรณีไหนมากกว่าศูนย์ เท่ากับศูนย์ หรือน้อยกว่าศูนย์ $B^{2}-3AC=(-12)^{2}-(3)(2)(22)=12>0$ 3. หาค่าพารามิเตอร์ต่างๆ หาค่า $r=-\frac{B}{3A}=-\frac{-12}{(3)(2)}=2$ หาค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} =\frac{\sqrt{(-12)^{2}-(3)(2)(22)} }{(3)(2)}=\frac{\sqrt{3} }{3}$ หาค่า $f(r)=Ar^{3}+Br^{2}+Cr+D=2(2^{3})-12(2^{2})+22(2)-11=1$ หาค่า $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}=\frac{1}{(2)(2)(\frac{\sqrt{3} }{3})^{3} }\approx 1.299......\left|\,\rho \right|>1$ 4. หาค่ารากของของสมการ โดยหามุมทางตรีโกณมิติก่อนโดยใช้เครื่องคิดเลข $\alpha =\frac{1}{2}sin^{-1}(\frac{1}{\rho } )=\frac{1}{2}sin^{-1}(\frac{1}{1.299})\approx 25.169 ^{\circ }$ รากของสมการเท่ากับ $x=r-a\sqrt[3]{tan\alpha } -\frac{a}{\sqrt[3]{tan\alpha } } =2-\frac{\sqrt{3} }{3} \sqrt[3]{tan25.169^{\circ }} -\frac{\sqrt{3} }{3\sqrt[3]{tan25.169^{\circ }} } \approx 0.809$ ส่วนตัวอย่างต่อๆไป ผมจะทยอยเอามาลงให้ครับ........แต่ผมสรุปวิธีการหาให้แล้วครับดังนี้ หมายเหตุ:ตามเอกสารที่แนบมีแก้ไข1จุดครับ จาก $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}$แก้เป็น $\rho =\frac{f(r)}{2\left|\,A\right| a^{3}}$ 08 เมษายน 2017 09:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: เพิ่มเติมฯ |
#32
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แล้วบอกว่าเซตคำตอบของ FLT ในเคสที่ $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ จะโดน cover ด้วยค่าของ $x,y$ ในรูปจำนวนเต็มบวก $a,b$ อะครับ มันเป็นวิธีคิดที่ไม่สมบูรณ์ครับ ยังมีจำนวนจริงหลายๆตัว ที่เป็นคำตอบของ FLT ในเคส $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ อยู่อีกมาก แต่ไม่จำเป็นว่าต้องเขียนได้ในรูป $a,b$ แบบนั้นเสมอไป เช่น $(x,y,z)=(e,\sqrt[3]{8-e^3},2)$ ก็เป็นอีกหนึ่งคำตอบ แต่ไม่มี $(x,y)$ ที่เขียนได้ในรูป $a,b$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกเลย บทพิสูจน์นี้ใช้ได้แค่ case เล็กๆเท่านั้นครับ ลองนึกดูครับ มันมี trivial solution อีกมากมาย ส่วนรายละเอียดอื่นๆ เดี๋ยวไว้ว่างๆกว่านี้ผมจะมาอ่านให้นะครับ |
#33
|
||||
|
||||
สูตรการหารากสมการกำลังสามแบบไทยทำ
ผมจะยกตัวอย่างการหาค่ารากสมการกำลังสามมาให้ดูอีกสัก 1 ตัวอย่างนะครับ โดยดูสูตรการหาจากความเห็นที่ #31 ประกอบได้
เช่น จงหารากของสามการ $x^{3}+2x^{2}+3x+4=0$ วิธีทำ หาค่า A,BC และ D ได้คือ $ A=1,B=2,C=3,D=4$ 1. หาค่า $B^{2}-3AC=2^{2}-(3)(1)(3)=-5$ ได้ค่าน้อยกว่า 0 แสดงว่ารากของสมการมีเพียงค่าเดียว 2. หาค่า $r=-\frac{B}{3A} =-\frac{2}{(3)(1)} =-\frac{2}{3} $ 3. หาค่า $a=\frac{\sqrt{3AC-B^{2}} }{3A} =\frac{\sqrt{5} }{3} \approx 0.7454$ 4. หาค่า $f(r)=Ar^{3}+Br^{2}+Cr+D=(-\frac{2}{3})^{3}+(2)(-\frac{2}{3})^{2}+(3)(-\frac{2}{3})+4\approx 2.5926$ 5. หาค่าพารามิเตอร์ $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}} =\frac{2.5926}{(2)(1)(0.7454)^{3}}\approx 3.13$ 6.หาค่ามุมทางตรีโกณมิติ $\beta =\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{1}{\rho } )=(\frac{1}{2})(tan^{-1}(\frac{1}{3.13})) \approx 8.859^{\circ }$ 7. ค่ารากของสมการคือ=$x=r+a\sqrt[3]{tan\beta } -\frac{a}{\sqrt[3]{tan\beta } } =-\frac{2}{3}+(0.7454)(\sqrt[3]{tan8.859^{\circ }}) -\frac{0.7454}{\sqrt[3]{tan8.859^{\circ }} } \approx -1.651$ ถ้าผิดพลาดตรงไหนติได้เตือนได้เลยครับ 29 ธันวาคม 2016 16:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm |
#34
|
||||
|
||||
ตัวอย่างสมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แต่ค่ารากของสมการเป็นจำนวนอตรรกยะหมดและมีลักษณะพิเศษ
เช่น $8x^3-12x^2-12x+17=0$ มีค่ารากเป็น $$x_1=-sin10^{\circ }+sin30^{\circ }+sin50^{\circ }$$$$x_2=sin10^{\circ }+cos20^{\circ }+sin30^{\circ }$$$$x_3=-cos20^{\circ }+sin30^{\circ }-cos40^{\circ }$$ เพราะว่าค่ารากทุกค่ามีค่ามุมทางตรีโกณมิติเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตหมด |
#35
|
||||
|
||||
ตัวอย่างสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีรากของสมการเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ
......1) $4x^2+2x-1=0$ มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{5} ,cos\frac{4\pi }{5}$ ......2) $8x^3+4x^2-4x-1=0$ มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{7} ,cos\frac{4\pi }{7},cos\frac{6\pi }{7} $ ......3) $16x^4+8x^3-12x^2-4x+1=0$ มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{9} ,cos\frac{4\pi }{9},cos\frac{6\pi }{9},cos\frac{8\pi }{9} $ ......4) $32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0$ มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{11} ,cos\frac{4\pi }{11},cos\frac{6\pi }{11},cos\frac{8\pi }{11} , cos\frac{10\pi }{11} $ และคาดว่าก็ต้องมีพหุนามที่มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{13} ,cos\frac{4\pi }{13},cos\frac{6\pi }{13},cos\frac{8\pi }{13} , cos\frac{10\pi }{13} , cos\frac{12\pi }{13} $
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#36
|
||||
|
||||
เรขาคณิตของผลเฉลยของรากสมการกำลังสาม
สมการพหุนามกำลังสามที่มีรากของสมการเป็นจำนวนจริงทั้งสามจำนวนสามารถหาผลเฉลยโดยใช้เรขาคณิตของวงกลมผลเฉลยของรากสมการกำลังสามที่มีรั ศมีเท่ากับ 2a หน่วยหรือเท่ากับความกว้างของกรอบตัวZได้ โดยรากของสมการจะแบ่งวงกลมของผลเฉลยออกเป็น3ส่วนเท่าๆกัน ส่วนละ 120 องศาตามรูป ดูไปก็คล้ายๆ Mohr's circle อยู่เหมือนกันนะ
หมายเหตุ:ตามเอกสารที่แนบมีแก้ไข2จุดครับ 1. จาก $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}$แก้เป็น $\rho =\frac{f(r)}{2\left|\,A\right| a^{3}}$ 2.จาก $y=-2Aa^3sin3\theta +f(r)$ แก้เป็น$y=-2\left|\,A\right|a^3sin3\theta +f(r)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 08 เมษายน 2017 09:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: เพิ่มเติมฯ |
#37
|
||||
|
||||
ฟังก์ชันพาราเมตริกของฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม
......การหาค่ารากของสมการกำลังสามจะโดยการประมาณหรือหาแบบตรงเป๊ะก็แล้วแต่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลยครับ ผมว่าถ้าลองตั้งโจทย์แบบสุ่มดูหรือพูดอีกแบบก็มั่วๆแบบแยกตัวประกอบไม่ออก แล้วลองให้เด็กม.ปลายแก้ผมเชื่อว่าที่แก้ถูกน่าจะนับคนได้ แต่เทคนิคหนึ่งที่นำมาใช้คือวิธีฟังก์ชันพาราเมตริก เป็นยังไงผมขอยกตัวอย่างแค่สัก1เคสคือกรณีกราฟของฟังก์ชันพหุนามกำลังสามมีลักษณะเป็นรูปตัวZ แต่ทำไมคนอื่นเขามองเป็นรูปตัวNหว่า
......คือช่วงของกราฟที่อยู่ในกรอบตัวZเราจะใช้ฟังก์ชัน sine ของมุมสามเท่ามาอ้างอิงซึ่งผมได้สาธยายไปแล้ว .....ส่วนช่วงของกราฟนอกกรอบตัวZทางด้านซ้ายและขวาก็มีลักษณะคล้ายกันคือเราจะใช้ฟังก์ชัน cosec ของมุมสองเท่ามาอ้างอิง แต่ถ้าจะเอาให้ง่ายควรใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิค cosh มาอ้างอิงครับ ......ด้วยวิธีการนี้เราสามารถหาค่าหรือประมาณค่ารากของสมการพหุนามกำลังสามได้ในที่สุดโปรดติดตามตอนต่อไปอาจจะช้าหน่อย น่าจะเบื่อกันหมดแล้วมั้งครับเนี่ย
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#38
|
||||
|
||||
รากของสมการพหุนามกำลังสามที่อยู่ในรูปแบบฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค
........สมการกำลังสามรูปตัวZที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงและมีค่าพารามิเตอร์$-1<\rho <1$จะมีรากเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งหาได้จากฟังก์ชั่น sine.....
........ส่วนสมการกำลังสามรูปตัวZที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงและมีค่าพารามิเตอร์ $\rho <-1หรือ\rho >1$จะมีรากเป็นจำนวนจริง1ค่าส่วนอีก2ค่าอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนนั้น สามารถหาได้จากฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh ดังนี้..... ........ส่วนฟังก์ชันพหุนามกำลังสามแบบรูปกังหันที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงคือค่า $\rho $ไม่ได้เป็นจำนวนจริง ก็สามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh หารากได้เช่นกัน รวมถึงฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่ด้วยนะครับ จะค่อยๆนำมาลงให้ดูกันครับ
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#39
|
||||
|
||||
........ส่วนฟังก์ชันพหุนามกำลังสามแบบรูปกังหันที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงคือสัวเกตจากค่า $B^2-3AC<0$ ก็สามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh หารากได้เช่นกัน
.......แล้วต่อไปจะนำลักษณะกราฟของฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่มาเล่าสู่กันฟังครับ ซึ่งแบ่งได้เป็น 3 ลักษณะคือ 1.กราฟแบบนมสาว 2.กราฟแบบจรวด ซึ่งทั้งคู่เป็นกราฟแบบสมมาตร และ 3.กราฟแบบอสมมาตร
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#40
|
||||
|
||||
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบที่1ที่จะนำเสนอก่อนเลยคือ กราฟพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอด2จุด หรือเรียกแบบไทยไทยว่า "กราฟนมสาว" ก็คงไม่ต้องบรรยายอะไรมากหลายคนคงน่าจะเดากันออกว่าเป็นแบบไหน วิธีเช็คว่าพหุนามกำลังสี่นั้นเป็นกราฟนมสาวหรือไม่ มีเงื่อนไข 2 ข้อครับ คือถ้ากำหนด $y=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E,A\not= 0,B,C,D,Eเป็นจำนวนจริง$
1. $D=\frac{4ABC-B^3}{8A^2} $ 2. $9B^2-24AC>0$ .......แล้วต่อไปผมจะนำเสนอกราฟแบบที่2คือกราฟพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอดจุดเดียวหรือเรียกตามรูปพรรณสัณฐานว่า กราฟแบบจรวด จะนำมาบอกเล่าให้ติดตามในตอนต่อไปครับ แก้ไข:มีเพิ่มเติมนิดคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ คือ $A>0$ จะเป็นกราฟนมสาวแบบหงาย ดังรูปแนบ ส่วนถ้า $A<0$ จะเป็นกราฟนมสาวแบบคว่ำ(สะท้อนลง) แต่มีรายละเอียดต่างๆเหมือนแบบหงายทุกประการ
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 22 มิถุนายน 2017 11:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm |
#41
|
||||
|
||||
ตัวอย่างเช่น ลองวาดกราฟของ $y=2x^4-8x^3+16x+1$ แล้วสามารถนำมาวิเคราะห์จำนวนรากที่เป็นจำนวนจริงได้ว่ามีกี่จำนวน อีกทั้งยังสามารถประยุกต์ไปถึงการหาค่ารากของสมการออกมาได้ด้วย
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#42
|
||||
|
||||
กราฟพหุนามกำลังสี่แบบที่2 เป็นกราฟแบบสมมาตรที่มีจุดยอดเดียว ลักษณะคล้ายกราฟพาราโบลาแต่โดยส่วนใหญ่มีความโค้งมากกว่า หรือมีความผอมกว่า ซึ่งถ้ารู้จักวิธีวาดกราฟพาราโบลาเป็นอย่างดีก็สามารถนำมาประยุกต์ในการวาดกราฟแบบนี้ได้ แต่ Rocket graph จะไม่มีจุดโฟกัสเหมือนกับ Parabola graph
แก้ไข:มีเพิ่มเติมนิดคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ คือ $A>0$ จะเป็นกราฟจรวดแบบหงาย ดังรูปแนบ ส่วนถ้า $A<0$ จะเป็นกราฟจรวดแบบคว่ำ(สะท้อนลง) แต่ลักษณะต่างๆเหมือนแบบหงายทุกประการ
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 22 มิถุนายน 2017 11:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm |
#43
|
||||
|
||||
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบอสมมาตร
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบอสมมาตรหรือเรียกตามรูปร่างช่วงหนึ่งว่า Snake graph หรือกราฟงู แบ่งเป็น 2 แบบ
1. แบบมีกระดูกงู คือจะเป็นกราฟพหุนามกำลังสี่ที่พันอยู่รอบแกนกระดูกงู แบ่งเป็น 2 ชนิด 1.1) ชนิดที่มี 3 จุดวกกลับ และมี 2 จุดเปลี่ยนเว้า หรือเรียกสั้นๆว่าชนิด 3R2I 1.2) ชนิดที่มี 1 จุดวกกลับ และมี 2 จุดเปลี่ยนเว้า หรือเรียกสั้นๆว่าชนิด 1R2I 2. แบบไม่มีกระดูกงู คือจะเป็นกราฟพหุนามกำลังสี่ที่ไม่มีจุดเลี่ยนเว้า แต่มีจุดวกกลับเพียง 1 จุด หรือเรียกสั้นๆว่าชนิด 1R ..................พหุนามกำลังสี่แบบมีกระดูกงูชนิด 3R2I จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่คือค่าพารามิเตอร์ a และ b ..................มีลักษณะสำคัญคือถ้าลากเส้นตรงผ่านจุดเปลี่ยนเว้าทั้ง2จุด จะได้เส้นตรงที่ตัดผ่านกราฟทั้งหมด 4 จุดเสมอ ..................เรียกชื่อจุดจากล่างขึ้นบนแบบไทยๆได้ว่า ๑.จุดหัวงู ๒.จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่หนึ่ง ๓.จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่สอง และ ๔. จุดหางงู และมีจุดวกกลับทั้ง 3 จุดแทรกอยู่ระหว่างจุดทั้งสี่ ..................โดยที่ไม่ว่ากราฟจะมีสมการอย่างไรอัตราส่วนระยะห่างระหว่างจุดทั้ง4 จะคงที่เสมอ และอัตราส่วนหนึ่งในนั้นจะมีอัตราส่วนทอง(golden ratio)ซ่อนอยู่ด้วย
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#44
|
||||
|
||||
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบอสมมาตรแบบกราฟงูชนิด1R2I
............คือจะเป็นกราฟงูแบบที่มีกระดูกงูและมี 1 จุดวกกลับ กับมี 2 จุดเปลี่ยนเว้า
............พหุนามกำลังสี่แบบมีกระดูกงูชนิด 1R2I จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่คือค่าพารามิเตอร์ a และ b ค่า $a=\frac{\sqrt{9B^2-24AC} }{12A} $ ต้องสามารถหาค่าได้เป็นจำนวนจริง และค่า $b=D-\frac{4ABC-B^3}{8A^2},โดย \left|\,b\right| \geqslant 8Aa^3$ ............พหุนามกำลังสี่แบบมีกระดูกงูชนิด 1R2I แบ่งได้เป็น 2 type คือ 1R2I(typeI) จะมีจุดวกกลับอยู่ระหว่าง จุดหัวงู(head of snake) กับ จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่ 1 (1st inflection point) พิจารณาจากค่า $8Aa^3\leqslant \left|\,b\right| <8\sqrt{5}Aa^3$ 1R2I(typeII) จะมีจุดวกกลับอยู่ที่จุดหัวงูหรือนอกจุดหัวงู(head of snake)คืออยู่เลยออกไป พิจารณาจากค่า $ \left|\,b\right| \geqslant 8\sqrt{5}Aa^3$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#45
|
||||
|
||||
กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบอสมมาตรแบบกราฟงูชนิด1R
............คือจะเป็นกราฟงูแบบที่ไม่มีกระดูกงูแต่จะมีเพียงแกนสัมผัสอ้างอิง และมี 1 จุดวกกลับเท่านั้น
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่ดูจากค่า $9B^2-24AC <0$ และค่า $D\not= \frac{4ABC-B^3}{8A^2}$ ............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีลักษณะสำคัญคือมีลักษณะเป็นโค้งหงายหรือโค้งคว่ำแบบไม่สมมาตร และทอดเอียงไปตามแกนเส้นสัมผัสอ้างอิงโดยถ้า $A>0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่เหนือแกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$แต่ถ้า$A<0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่ใต้แกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 12 สิงหาคม 2017 19:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: ตกหล่นคำ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
functional equation(Cauchy's equation) and composition function | tukkaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 25 พฤษภาคม 2011 10:53 |
ถามแนวทางแก้โจทย์ differential equation | thai_be | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 1 | 13 พฤษภาคม 2009 15:16 |
differential equationครับ | Sir Aum | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 25 เมษายน 2009 11:50 |
Equation Like Pell's Equation | Anonymous314 | ทฤษฎีจำนวน | 11 | 07 มกราคม 2009 00:26 |
อยากเรียน Differential Equation ให้รู้เรื่อง | <Darm> | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 04 เมษายน 2001 10:44 |
|
|