|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้า $n\geqslant 6 \Rightarrow n! \equiv 0 (mod9)$ ทำให้เหลือ $5 \equiv x^3 (mod9)$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ $\therefore n<6$ แล้วค่อยลองเทสค่าแค่ 5 ตัวก็ง่ายขึ้นแล้วครับ
__________________
keep your way.
|
#32
|
||||
|
||||
อันนี้ไม่ใช่ของผมนะครับ เขาฝากมาลง โดยคุณ Aha
โหดขิงๆ
__________________
keep your way.
18 พฤษภาคม 2011 21:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#33
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ส่วนข้อ N12 ไม่ค่อยเข้าใจครับ ขอไปศึกษาก่อน ขอบคุณมากครับ
__________________
no pain no gain |
#34
|
||||
|
||||
#33
ต้องลองค่อยๆทดตามดูอ่ะครับ ตอนเรียบเรียง solution ข้อนี้จะนานเป็นพิเศษ ==" ปล. ลายมือนี้คุ้นๆนะ PP 55+
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#35
|
||||
|
||||
คุ้นมากครับ 555+
อ้างอิง:
ก็เพราะว่าฝั่งซ้ายเป็นบวกเสมอ ดังนั้นฝั่งขวาต้องไม่มีวงเล็บใดเป็นศูนย์เสมอ และถ้าในกลุ่มวงเล็บ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) มีบางวงเล็บติดลบก็จะสร้างสามเหลี่ยมไม่ได้ สมมติว่ามีบางวงเล็บติดลบ ได้ว่าต้องมีสองวงเล็บเท่านั้นที่ติดลบได้ เพื่อจะทำให้ทั้งก้อนเป็นบวก WLOG : $x+y-z<0$ และ $y+z-x<0$ บวกสองอสมการเข้ากันก็จะได้ $2y<0$ ขัดแย้งกับที่ $x,y,z\in\mathbb{Z}^+$ เท่านี้ก็สามารถสร้างสามเหลี่ยมได้ตามต้องการแล้วครับ
__________________
keep your way.
20 พฤษภาคม 2011 17:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#36
|
||||
|
||||
วันนี้ขอเปลี่ยนแนวทำคอมบิง่ายๆละกันครับ (อันอื่นยังทำไม่ค่อยจะได้ )
C2 (ศิลปากร) เอกเชิญเพื่อนจาก 6 โรงเรียนๆละหนึ่งคน จงแสดงว่าทั้ง 7 คนต้องมีอย่างน้อย 4 คนที่รู้จักกันหรืออย่างน้อย 3 คนที่ไม่รู้จักกัน เนื่องจากเอกเป็นเพื่อนกับทุกคนหมด ดังนั้นถ้าใน 6 คนมีกลุ่ม 3 คนซึ่งรู้จักกันก็จบ เพราะได้ 4 คนที่รู้จักกันคือ 3 คนนั้นๆและเอกอีกหนึ่งคน ต่อไปสมมติว่าในกลุ่ม 6 คนไม่มีกลุ่มย่อย 3 คนใดๆซึ่งรู้จักกัน เนื่องจากในกลุ่ม 6 คนต้องมีอย่างน้อย 3 คนที่รู้จักกันหรืออย่างน้อย 3 คนที่ไม่รู้จักกัน (Ramsey Number, R(3,3)=6) ก็ได้แล้วว่า ถ้าไม่เกิดกลุ่ม 3 คนที่รู้จักกัน ก็จะเกิดกลุ่ม 3 คนที่ไม่รู้จักกัน พอรวมทั้ง 7 คนจึงได้ว่าต้องมีกลุ่ม 4 คนที่รู้จักกัน หรือกลุ่ม 3 คนที่ไม่รู้จักกัน _________________________________________________________________________________________ ตัวพิสูจน์ Ramsey Number ดังกล่าวก็ไม่ยากครับ จะบอกแนวไว้ให้สำหรับคนที่ไม่ทราบ (เพราะมันเป็น well-known theorem) ใช้รังนกพิราบกับคนๆหนึ่งได้ว่ามีอย่างน้อย $\left\lceil\,\frac{5}{2}\right\rceil$ คนที่มีสถานะเพื่อนเดียวกันกับคนที่พิจารณา
__________________
keep your way.
|
#37
|
||||
|
||||
C3 (วลัยลักษณ์) ให้เซต A ประกอบด้วยสมาชิกจำนวนเต็มบวก 17 จำนวน โดยไม่มีสมาชิกใดมี prime divisor > 8 พิสูจน์ว่ามี 2 จำนวนในเซต A ซึ่งรากที่สองของผลคูณสองตัวนั้นเป็นจำนวนเต็ม
(ข้อนี้เห็นแล้วนึกถึงข้อ lattice point ใน tmo6 เลย) เนื่องจากถ้า $x\in A$, $x=2^a\cdot3^b\cdot5^c\cdot7^d$ เมื่อ $a,b,c,d\in\mathbb{N}_0$ แบ่งภาวะการเป็นคู่คี่ของ a,b,c,d ได้ 16 แบบ (เพราะแต่ละตัวเป็นได้ 2 แบบ) $\therefore$ โดยหลักรังนกพิราบได้ว่ามีอย่างน้อย $\left\lceil\,\frac{17}{16}\right\rceil =2$ จำนวนซึ่งมีภาวะดังกล่าวเดียวกัน นั่นคือผลคูณของสองตัวนั้นเกิดเป็นจำนวนใหม่ในรูป $2^i\cdot3^j\cdot5^k\cdot7^l$ ซึ่งเลขยกกำลังทุกตัวเป็นเลขคู่ จึงได้ว่ามีสองจำนวนในเซต A ซึ่งผลคูณของสองตัวนั้นมีรากที่สองเป็นจำนวนเต็ม
__________________
keep your way.
|
#38
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จาก $a|b^c$ ดังนั้น $a|b$ และให้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p^n$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ a และจากนั้นสมมุติให้ $a\nmid b^a$ (ตรงนี้ไม่มั่นใจว่าสมมุติได้หรือเปล่านะครับ) จากที่ $p^n|a$ แต่หาร $b^a$ ไม่ลงตัว และ $p|a$ และ $a|b$ จะได้ว่า $p|b$ และจะได้อีกว่า $p^a|b^a$ และจากที่ $p^n\nmid b^a$ ก็จะได้ว่า $n>a$ $p^a < p^n \le a$ และเลือค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ p คือ 2 $2^a \le p^a < p^n \le a$ และจะได้ว่า $2^a\le a$ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง เพราะฉะนั้น $a|b^a$
__________________
no pain no gain 20 พฤษภาคม 2011 22:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ No.Name |
#39
|
||||
|
||||
C8 (สอวน) ทีม 2011 ทีมแข่งเทนนิสพบกันหมด แต่ละคู่เป็นได้แค่แพ้หรือชนะเท่านั้น เรียก 3 ทีมใดๆว่า "กลุ่มทัดเทียม" ก็ต่อเมื่อแต่ละทีมในกลุ่มจะแพ้หนึ่งทีมในกลุ่ม และชนะหนึ่งทีมในกลุ่ม จงหาค่ามากสุดของจำนวนกลุ่มทัดเทียม
(ข้อนี้ใช้หลักการเดียวกับโจทย์ที่พี่ Passer-by เคยเอามาลงครับ แค่เปลี่ยนจากเป่ายิ้งฉุบ 23 คนเป็นแข่งเทนนิส 2011 ทีมเท่านั้นเอง ) ให้ cyclic คือกลุ่มทัดเทียมตามโจทย์ และ non-cyclic ก็คือตรงข้ามกัน ดังนั้นเราจะนับกลุ่ม non-cyclic ที่น้อยสุดที่เป็นไปได้แทน และใช้อสมการ Jensen ที่กล่าวว่า ถ้า f เป็น convex function (ฟังก์ชันนูน) ในช่วง $I$ แล้ว $\sum f(x_i)\geqslant n\cdot f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})$ ทุก $x_i \in I$ ซึ่ง $f(x)=\pmatrix{x\\ 2} =\frac{x(x-1)}{2}$ ก็เป็น convex function ($\frac{d^2}{dx^2}f(x)>0$ ทุก $x>0$) และค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $x_1,x_2,x_3,...x_n$ มีค่าใกล้เคียงกัน เพราะบางที $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม จึงต้องเลือกค่าที่ใกล้เคียงกันและทำให้ค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็ม กลับมาดูที่ non-cyclic แสดงว่าต้องมี 1 ทีมที่ชนะอีก 2 ทีมหรือมี 1 ทีมที่แพ้อีก 2 ทีม โดยให้ $a_i$ แทนจำนวนครั้งที่ทีมที่ $i$ ชนะ ดังนั้นจำนวน non-cyclic = $\sum\pmatrix{a_i\\2} $ เพราะในทีมที่ $i$ จะสร้างกลุ่ม non-cyclic ได้จากการเลือกสองทีมที่ $i$ ชนะ แต่เราสามารถนับอีกแบบได้คือ นับจำนวนทีมที่ $i$ แพ้ ซึ่งมีอยู่ $2010-a_i$ ทีม ดังนั้นจำนวน non-cyclic = $\sum\pmatrix{2010-a_i\\2} $ รวมสองอันจึงได้ จำนวน non-cyclic = $\frac{1}{2}\left[\,\sum\pmatrix{a_i\\2}+\sum\pmatrix{2010-a_i\\2}\right] $ แต่โดยอสมการเจนเซน, $\pmatrix{a_i\\2}+\pmatrix{2010-a_i\\2}\geqslant 2 \pmatrix{1005\\2}$ และสมการเกิดเมื่อ $a_i=1005$ นั่นคือจำนวน non-cyclic $\geqslant \frac{1}{2}\left(\, 2011\cdot 2 \pmatrix{1005\\2} \right)=2011\cdot \pmatrix{1005\\2}$ ทำให้จำนวน cyclic $\leqslant \pmatrix{2011\\3}-2011\cdot \pmatrix{1005\\2}$ $\therefore$ จำนวนกลุ่มทัดเทียมมากสุดที่เป็นไปได้คือ $\pmatrix{2011\\3}-2011\cdot \pmatrix{1005\\2}$ เกิดเมื่อทุกทีมชนะ 1005 ทีมและแพ้ 1005 ทีมพอดี
__________________
keep your way.
|
#40
|
||||
|
||||
สมมติได้ครับ แต่ส่วนนี้มันไงๆอยู่นะ
$x|y$ และ $y\nmid z$ ไม่ได้ imply ว่า $x\nmid z$ นะครับ
__________________
keep your way.
20 พฤษภาคม 2011 22:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#41
|
||||
|
||||
N5 (สอวน) ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z}^+$ ซึ่ง $a\mid b^c$ พิสูจน์ว่า $a\mid b^a$
โทษครับ ทำผิด
__________________
keep your way.
22 พฤษภาคม 2011 13:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#43
|
||||
|
||||
G11 วงกลมสามวง รัศมี $r_1,r_2,r_3$สัมผัสภายนอกซึ่งกันเเละกัน ทีุ่จุด A,B,C
ถ้า $p$ เเทนความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ABC จงเเสดงว่า $$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_2}\ge \frac{9}{p}$$ กำหนด จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมีเป็น $r_1,r_2,r_3$ เป็น $O_1,O_2,O_3$ ตามลำดับ เเละกำหนด มุม $O_1AB=\alpha,O_2CA=\beta,O_3BC=\gamma$ จาก $\Delta ABC\rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\pi$ เเละ $p=2(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)$ นั่นคือ เราต้องการพิสูจน์ว่า $$2\Big(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\Big)(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)\ge 9...(*)$$ $$\Leftrightarrow 2\Big(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\Big)(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)\ge\Big(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2 }+\frac{1}{r_3}\Big)(r_1+r_2+r_3)$$ ซึ่งทำให้ $(*)$ เป็นจริงโดย อสมการ A.M-H.M $$\Leftrightarrow 2(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)\ge r_1+r_2+r_3$$ จาก Sine Law $$\Leftrightarrow 2(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)\ge \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma$$ ซึ่งเป็นจริงโดย อสมการของ Jensen โดย เลือก $f(x)=2\sin x-tan x$ ปล. ผม Jensen เเบบมั่วๆครับ ถ้าผิดก็ ... มา ณ ที่นี้
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#44
|
||||
|
||||
A5 ถ้า $k_1,k_2,...,k_n,n\in \mathbb{N}$
โดยสอดคล้องกับสมการ $$k_1+k_2+...+k_n=6n-8,\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+...+\frac{1}{k_n}=1$$ จงหา $k_i,n$ ที่สอดคล้อง โดย อสมการ A.M-H.M จะได้ว่า $$(k_1+...+k_n)\Big(\frac{1}{k_1}+..+\frac{1}{k_n}\Big)=6n-8\ge n^2$$ $$\rightarrow (n-2)(n-4)\leq 0$$ นั่นคือ $n=2,3,4$ กรณี n=2 จะได้ $k_1=k_2=2$ กรณี n=3 โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $k_1\ge k_2\ge k_3\ge 1$ $k_1+k_2+k_3=10\ge 3k_3\rightarrow k_3=2,3$ เมื่อ $k_3=2$ ได้ $k_1=k_2=4$ เมื่อ $k_3=3$ ได้ว่า $k_1,k_2\not \in \mathbb{N}$ กรณี n=4 จะได้ $(k_1+k_2+k_3+k_4)(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4})=16$ ซึ่ง จะได้ $k_1=k_2=k_3=k_4=4$ โดยอสมการ A.M-H.M.
__________________
Vouloir c'est pouvoir 21 พฤษภาคม 2011 08:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#45
|
||||
|
||||
#43
กำหนดจุด A,B,C อยู่ตรงไหนครับ บางบรรทัด มันไม่ใช่ ก็ต่อเมื่อ นะครับ ตรง Sin's Law มาได้อย่างไร อธิบายหน่อยก็ดี ใช้ Jensen อย่างไร convex หรือ concave แล้วก็หาอนุพันธ์มาด้วยจะดีกว่านะครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ใครมี Shortlisted TMO8 บ้างครับ | ~ArT_Ty~ | ข้อสอบโอลิมปิก | 2 | 07 เมษายน 2012 22:14 |
|
|