|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
ข้อ 5 วันแรก ผมได้ 4332 ครับ. เลขสวยทีเดียว แต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า ใครมีเฉลยช่วยดูที
ผมเข้าใจปัญหาถูกหรือเปล่า ช่วยดูทีนะครับ. \(\fbox{โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21 } \) จำนวนวิธี ดังกล่าวจะได้จากจำนวนคำตอบของสมการ \(a+b+c+d+e+f=21 \quad , 1 \leq a, b, c, d, e, f \leq 6 \) สมมติให้ฟังก์ชันก่อกำเนิด \(G(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 \) ส.ป.ส ของ x21 จะคือคำตอบนั่นเอง (ถูกเปล่าหว่า ) \(G(x) = x^6(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^6 = x^6(1-x^6)^6(1-x)^{-6} \) ถ้าให้ \(F(x) = (1-x^6)^6 = \Sigma f_n x^n \quad , H(x) = (1-x)^{-6} = \Sigma h_n x^n \) จะได้ว่า ส.ป.ส ของ x21 ใน G(x) จะคือ ส.ป.ส ของ x15 ใน [ F(x) ] [ H(x) ] นั่นเอง พิจารณา ส.ป.ส ของ x15 ใน \(F(x)H(x) = \Sigma f_n h_{15 - n} \) \(f_n = {6 \choose \frac{n}{6}} \quad , n = 0, 6, 12, \cdots \) \(h_n = {6+n-1 \choose n} \) \(\Sigma f_n h_{15 - n} = f_0h_{15} + f_6h_9 + f_{12}h_3 = {6 \choose 0}{20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} = 4332 \) |
#32
|
|||
|
|||
ข้อ 5 ผมก็ได้ 4332 เหมือนคุณ gon ครับ ( ข้อนี้ ดูเหมือนถามง่ายๆ แต่ใช้แนวคิดอลังการมาก ไม่รู้เหมือนกันว่า ถ้าไม่ใช้ generating function หรือ inclusion-exclusion formula มาช่วย จะทำไงดี)
ข้อ 11 ที่คุณ gools บอกว่าไม่มีคำตอบ ผมว่า x = 22548-1 ก็สอดคล้องกับโจทย์ นะครับ แต่ผมไม่รู้ว่า เป็นตัวน้อยสุดหรือเปล่า ใครที่ expert ทาง number theory ช่วยมาชี้แจงแถลงไขด้วยครับ อ้างอิง:
ท้ายสุด อยากจะบอกว่า เห็นกระทู้นี้แล้ว ตื้นตันในพลังสามัคคีจริงๆนะเนี่ย
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#33
|
|||
|
|||
อืมแม่นแหล่วครับ ผมลืมดู สปส หน้าเทอม x2004 ไปเลย แก้แล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#34
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
และ x2004 - x2003 + ... + x2 - x + 1 เป็นจำนวนคี่เสมอ ดังนั้น 22548 จะหาร x2005 + 1 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 22548 หาร x + 1 ลงตัว นั่นคือคำตอบ x = 22548 - 1 ของคุณ passer-by เป็นคำตอบที่น้อยที่สุดแล้วครับ |
#35
|
||||
|
||||
ง่ายกว่าที่คิดแฮะ ตอนนี้เหลือแต่ใครจะอึดแจง 128 สับเซตอย่างเป็นระบบ (ข้อ 8) กะเรียงคนอย่างเป็นระบบ (ข้อห้าวันที่สอง)
x ไม่ใช่เลขคู่ เพราะจะทำให้ 2 หาร x2548 ไม่ลงตัว ดังนั้น เราจะหาเลขคี่ x (หรือ x+1, x-1 เป็นเลขคู่) ที่สอดคล้องเงื่อนไข เนื่องจาก \[x^{2005}-(-1)^{2005}=(x+1)(x^{2004}-x^{2003}+...+1)=k\cdot2^{2548}\] เพราะว่า \(x^{2004}-x^{2003}+...+1=x^{2003}(x-1)+...+(x-1)+1\) เป็นเลขคี่ จึงทำให้ \(2^{2548}|(x+1) \) ตามเงื่อนไขโจทย์ x>0 จะได้ว่า x=22548-1 เป็นค่า x ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์ Edit2: ลืมวงเล็บไปหนึ่งคู่ ...whew...
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 12 พฤษภาคม 2005 05:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#36
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เพื่อหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของ S เราจะแยกประเภทของสับเซตที่ไม่ใช่เซ็ตว่างของ S ออกเป็น 3 ประเภทดังนี้ 1. สับเซ็ตที่ไม่มีเลข 7 อยู่ สำหรับกรณีนี้จะได้ผลบวกของผลลัพธ์เท่ากับ x 2. สับเซ็ต {7} สำหรับกรณีนี้จะได้ผลบวกของผลลัพธ์เท่ากับ 7 3. สับเซ็ตที่เหลือ ซึ่งก็คือสับเซ็ตที่มีเลข 7 อยู่แต่ไม่ใช่ {7} ซึ่งมีอยู่ 26 - 1 = 63 สับเซ็ต ดังนั้นผลบวกของผลลัพธ์ในกรณีนี้คือ 7*63 - x (คงมองออกนะครับ ผมก็ไม่รู้จะอธิบายยังไงเหมือนกัน) ดังนั้นผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของ S จึงมีค่าเท่ากับ x + 7 + (7*63 - x) = 7*64 = 448 ครับ |
#37
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#38
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แต่ก็ยังดีกว่ามาไล่พิจารณาทีละกรณี หรือ solve แบบ Brute force calculation แน่นอน 100% แวบแรกที่ผมเห็นข้อนี้ ผมสังเกตว่า โจทย์ต้องการ sum= 21 ซึ่งเป็นกึ่งกลางระหว่าง 6(min of sum) และ36 (max of sum) ก็นึกว่าต้องมีเทคนิคซักอย่างมาช่วยแน่ๆ ที่ไม่ต้องใช้ความรู้อย่าง generating function หรืออะไรทำนองนี้ แต่ก็มืดแปดด้าน สุดท้ายก็ต้องกลับมาสู่วิธีทาง combinatorics นี่แหละครับ ส่วนข้อ 8 ที่คุณ warut เฉลย พาลให้ผมนึกถึง คำถามข้อหนึ่ง " ถ้านำจำนวนเต็มบวก 9 ตัว บรรจุในเมตริกซ์มิติ 3x3 โดยแต่ละ entry ต่างกันหมด จะได้ 9! เมตริกซ์ หาผลบวกของ determinant ของเมตริกซ์ทั้ง 9!เมตริกซ์ " แม้จะคิดไม่เหมือนกับข้อ 8 ซะทีเดียว แต่ก็ให้อารมณ์คล้ายๆกัน และคำตอบข้อนี้ก็แค่เลขหลักเดียวซะด้วย
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 13 พฤษภาคม 2005 19:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#39
|
|||
|
|||
โอ๊ยโย้ยโหยว...ผมชุ่ยอีกแล้ว คุณ passer-by ช่างสังเกตจัง ถ้าเป็นค่ากลางเนี่ยมีสูตรครับ แต่ในกรณีนี้คงไม่มีประโยชน์สำหรับผู้ทำสอบหรอก จะมีประโยชน์แต่ก็สำหรับผู้ออกข้อสอบไว้เช็คคำตอบมากกว่าครับ โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง $n$ ครั้ง สูตรสำหรับหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเป็นค่ากลางมีดังนี้ครับ $$ \sum_{k=0}^{\lfloor 5n/12\rfloor} (-1)^k{n \choose k}{n+\lfloor5n/2\rfloor-6k-1 \choose n-1} $$ ซึ่งก็คืออันที่คุณ gon ค้นพบนั่นเองครับ
22 พฤษภาคม 2006 08:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#40
|
||||
|
||||
ข้อโยนลูกเต๋า ใช้หลักการรวมเข้าและหักออก กับ Stars and Bar ก็ได้ครับ
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) คือ \( {20 \choose 5} \) จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) เมื่อมี \( x_i \) 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 1} {14 \choose 5} \) จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) เมื่อมี \( x_i \) 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 2} {8 \choose 5} \) \( \therefore \) จำนวนวิธีที่ต้องการคือ \( {20 \choose 5} - {6 \choose 1} {14 \choose 5} + {6 \choose 2} {8 \choose 5} = 4332 \)
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 13 พฤษภาคม 2005 09:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#41
|
|||
|
|||
คิดไปคิดมาปรากฎว่าผมยังมองไม่ออกน่ะครับว่า \({6\choose1}{14\choose5}\) กับ \({6\choose2}{8\choose5}\) มันมาได้ยังไง แล้วทำไมอันนึงมันถึงหักออก ส่วนอีกอันรวมเข้าล่ะครับ ขอโทษนะครับถ้านี่เป็นคำถามโง่ๆ
13 พฤษภาคม 2005 10:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#42
|
||||
|
||||
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 < 7 \)
= จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \) - จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \) จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \) คิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น \( {20 \choose 5} \) วิธี จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \) คิดดังนี้ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_1 > 6 \) หาได้ด้วยการหัก 6 ออกจาก 21 แล้วนำไปรวมกับ \( x_1 \) เลย จากนั้นคิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น \( {14 \choose 5} \) วิธี ในทำนองเดียวกันกับ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 > 6 \) ก็เป็น \( {14 \choose 5} \) วิธี ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 1}{14 \choose 5} \) วิธี จำนวนวิธีที่นับได้นี้ ดูเหมือนว่าจะเป็นจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \) แต่มันไม่ใช่ เพราะเรามีการนับเกิน เช่น กรณีที่ \( x_1 = 7, x_2 = 8 \) จะถูกนับซ้ำ 2 ครั้ง ครั้งหนึ่งคือ นับในกรณีที่ \( x_1 > 6 \) และอีกครั้งในกรณีที่ \( x_2 > 6 \) จึงต้องหักกรณีที่นับซ้ำออกไป นั่นก็คือ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_1, x_2 > 6 \) หาได้ด้วยการหัก 12 ออกจาก 21 แล้วนำไปรวมกับ \( x_1, x_2 \) ตัวละ \( 6 \) เลย จากนั้นคิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น \( {8 \choose 5} \) วิธี ในทำนองเดียวกันกับ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_1, x_3 > 6, x_1, x_4 > 6, x_1, x_5 > 6 \ldots \) ก็เป็น \( {8 \choose 5} \) วิธี ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 2}{8 \choose 5} \) วิธี จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \) = จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 - จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 = \( {6 \choose 1}{14 \choose 5} - {6 \choose 2}{8 \choose 5} \) ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 < 7 \) = \( {20 \choose 5} - {6 \choose 1}{14 \choose 5} + {6 \choose 2}{8 \choose 5} = 4332 \) หรือหากจะดูจากเฉลยของกร แล้วตีความหมายจาก \( {20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} \) ก็ได้ จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 13 พฤษภาคม 2005 13:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#43
|
|||
|
|||
โอ้ว...คราวนี้เคลียร์จริงๆแล้ว ขอบคุณมากครับ แย่จัง...ผมออกความเห็นอะไรผิดๆเกี่ยวกับข้อนี้ไปเยอะเลย ก็ไม่เคยเรียน combinatorics นี่นา
13 พฤษภาคม 2005 14:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#44
|
|||
|
|||
sin 18ฐ = ึ5+1 นี่ พิสูจน์ยังไงครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#45
|
|||
|
|||
sin 18ฐ =1/(ึ5+1) นะครับ
การพิสูจน์เท่าที่คิดออกตอนนี้ ทำได้ 2 วิธีครับ วิธีที่ 1: ให้ 5q=3q+2q=90ฐ ดังนั้น 2q=90ฐ- 3q take cos both sides จะได้ cos 2q=sin 3q เมื่อจัดรูปใหม่ จนสุดท้ายจะได้ 4x3 -2x2-3x+1=0 เมื่อ x= sinq และหลังจากแก้สมการจะได้ \( \huge x=sin(18^{\circ}) =\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}+1}\) วิธีที่ 2 ซึ่งไม่ต้องแก้สมการกำลังสาม ก็คือสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีเงือนไขเหมือนโจทย์ข้อ 3 วันแรก จากนั้นก็ใช้วิธีของผม กับคุณ nongtum มา mix รวมกัน ก็จะได้วิธี derive sin18ฐ อีกอารมณ์หนึ่ง จากคุณ nongtum จะได้ AB/BC= 1/(2sin18ฐ) (ใช้สมบัติสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาอธิบาย) และจากผม จะได้ AB/BC= (1+ึ5)/2 (โดย law of sine ผสมกับแก้สมการกำลังสองนิดหน่อย ดังอธิบายไปแล้ว) ก็จะ derive sin18ฐ ได้ตามต้องการ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
|
|