|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
|||
|
|||
$a>0$
$(a+4)^{2011}+(a+1)^{2011}\geq (a+2)^{2011}+(a+3)^{2011}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#32
|
||||
|
||||
พิสูจน์
$4^r+1^r\ge3^r+2^r$ ได้ไม่ยากโดย induction $\binom{2011}{r}a^{2011-r}4^r+\binom{2011}{r}a^{2011-r}1^r \ge \binom{2011}{r}a^{2011-r}3^r+\binom{2011}{r}a^{2011-r}2^r$ $\sum_{r = 0}^{2011} \binom{2011}{r}a^{2011-r}4^r+\sum_{r = 0}^{2011}\binom{2011}{r}a^{2011-r}1^r \ge \sum_{r = 0}^{2011}\binom{2011}{r}a^{2011-r}3^r+\sum_{r = 0}^{2011}\binom{2011}{r}a^{2011-r}2^r$ $(a+4)^{2011}+(a+1)^{2011} \ge (a+3)^{2011}+(a+2)^{2011}$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#33
|
||||
|
||||
ข้อต่อไปข้อนี้แล้วกันนะครับ ดูผิวๆเหมือนจะยาก แต่จริงๆแล้วไม่ยากครับ
Let $a,b,c>0$ for which $a+b+c=3$ Prove that \[3 \ge \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4}\]
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#34
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
by Chebyshev $$3(a^2(1)+b^2(b)+c^2(c^2)\geqslant (b+c^2+1)(a^2+b^2+c^2))$$ $$\Rightarrow$$ $$a^2+b^3+c^4\geqslant (b+c^2+1)$$ $$\because$$ $$a^2+b^2+c^2\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$ so $$\frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}\leqslant \frac{b+c+bc}{b+c^2+1}$$ in the same we get that $$\frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4} \leqslant \frac{b+c+bc}{b+c^2+1}+\frac{c+a+ca}{c+a^2+1}+\frac{a+b+ab}{a+b^2+1} ...(*)$$ and consider $$b+c+bc\leqslant \frac{4(b+c)+(b+c)^2}{4},\frac{1}{b+c^2+1} \leqslant \frac{3}{(b+c+1)(c+2)}$$ by Chebyshev and Am.-Gm. inequality and we know that $$\frac{12(b+c)^2+3(b+c)^2}{4(b+c+1)(c+2)}\leqslant 1$$ Then by ..(*) $$3\geqslant \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{a^2+c^3+b^4}$$ Which is true
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#35
|
||||
|
||||
อสมการมันไม่ symetric ครับ เอาตัวแปรมาเรียงไม่ได้
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#36
|
||||
|
||||
ขอ Hint เล็กน้อยได้ไหมครับ
มองไม่ออกจริงๆ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#37
|
||||
|
||||
ลองใช้โคชีกับก้อนเศษดูครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#38
|
|||
|
|||
โจทย์แต่งเอง ที่ไม่ยากมากผมเติมให้ได้เรื่อยๆเลยนะ ถ้ามีคนอยากทำ
$a,b,c>0$ $\dfrac{a}{b^2+7bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+7ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+7ab+b^2}\geq \dfrac{1}{a+b+c}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#39
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
ว่าเเต่ผมอยากพิสูจน์ว่า $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \leqslant 3$ เเละ $\frac{1}{b+c^2+1}+\frac{1}{a+b^2+1}+ \frac{1}{c+a^2+1} \leqslant 1$ จึงจะสรุป โจทย์ของคุณ LightLuciferได้อ่ะครับ โปรดชี้เเนะ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#40
|
||||
|
||||
#38
โดยโคชี $\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+7bc+c^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{ab^2+7abc+ac^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}ab^2+21abc+\sum_{cyc}ac^2}\ge\frac{1}{a+b+c}$ $\leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge \sum_{cyc}ab^2+21abc+\sum_{cyc}ac^2$ $\sum_{cyc}a^3+2\sum_{cyc}ab^2+2\sum_{cyc}ac^2 \ge 15abc$ เป็นจริงโดย AM-GM #39 ผมก็ไม่แน่ใจนะครับ แต่ดูๆแล้วคงหนีไม่พ้นต้องโคชีตัวเศษอ่ะครับ $(a^2+b^3+c^4)(b+2)\ge(a+b^2+c^2)^2$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 05 เมษายน 2011 23:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#41
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ดังนั้น $\sum_{cyc}\dfrac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}\leq \sum_{cyc}\dfrac{(a^2+b+1)(b+c+bc)}{(a^2+b^2+c^2)^2}$ จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $\sum_{cyc}(a^2+b+1)(b+c+bc)\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$ $\sum_{cyc}(a^2+b+1)(3-a+bc)\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$ หลังจากกระจายจะต้องพิสูจน์ว่า $3(a^2+b^2+c^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)-(a^3+b^3+c^3)+abc(a+b+c)+15\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$ ซึ่งเป็นจริงจาก 1. $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2=3\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$ 2. $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$ 3. $abc(a+b+c)\leq \dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)^2\leq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$ 4. $15\leq \dfrac{5}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$ ข้อนี้ต้องออกแรงเยอะมาก คิดว่าคงมีวิธีที่ดีกว่านี้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 06 เมษายน 2011 09:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#42
|
|||
|
|||
ต่อให้ครับ
$a,b,c>0,a+b+c=2$ $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+8abc\geq (a+b)(b+c)(c+a)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#43
|
||||
|
||||
คือ ช่วยลงโจทย์อื่นก่อนได้ไหมครับ
ผมทำเเล้วมันกลับด้าน = =
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#44
|
|||
|
|||
1. $a,b,c>0$
$\dfrac{a^2-bc}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2}\geq 0$ 2. $a,b,c\in (0,1]$ $\dfrac{a}{1+b+ca}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\leq 1$ 3. $n$ เป็นจำนวนนับ $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 07 เมษายน 2011 22:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#45
|
||||
|
||||
ข้อบนของพี่ Noonuii
ให้ WLOG; $c=min(a,b,c)$ อสมการสมมูลกับ $(a+b-c)(a-b)^2+c(b-c)(a-c)\geq 0$
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
|
|