#46
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แต่ถ้าเป็นข้อสอบที่เติมคำตอบ ไม่ต้องแสดงวิิธีทำ เราก็ลักไก่ สร้าง ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วดังรูป (ยังไงสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลมก็ต้องเป็นคำตอบหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมแหลมใดๆแหละน่า) จะได้ $AX = 4\sqrt{5} $ โดยสามเหลี่ยมคล้าย $\frac{8}{2s} = \frac{4\sqrt{5} }{15+s}$ $s = \frac{15}{4}(\sqrt{5} +1)$ $BC = \frac{15}{2}(\sqrt{5} +1)$ เดี๋ยวค่อยหาวิธีพิสูจน์รูปแบบทั่วไป
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#47
|
||||
|
||||
#47 AM-GM ปกติครับ พี่จูกัดเหลียงคิดลึกจัง
Inequality 2.$\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[27]{\frac{(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)}{3} } $ $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[27]{\frac{(a+b+c)^3}{3} -8} $ $ให้ \frac{a+b+c}{3}= x$ $x \geqslant \sqrt[27]{9x^3 -8} $ $x^{27}\geqslant 9x^3-8$ $x^{27}+8\geqslant 9x^3$ เป็นจริงจาก AM-GM $\frac{x^{27}+1+1+1+1+1+1+1+1}{9} \geqslant \sqrt[9]{x^{27}} $ $x^{27}+8\geqslant 9x^3$ |
#48
|
||||
|
||||
5555 จริงด้วยครับ
ส่วนข้อเรขากับอสมการอีกอันคิดไม่ออกอ่ะครับ ช่วย Hint หน่อย
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#49
|
||||
|
||||
ผมเติม โจทย์ให้ หน่อยซึ่งบางข้อผมยังคิดไม่ออกเหมือนกัน
Algebra 1.จงแยกตัวประกอบของ $(x+1)^3(x^2+1)^2(x^3+1) = 450x^5 $ 2.ให้ $x_i$ เป็น จำนวนจริงที่ $0<x_i<1 $ จงแสดงว่า $(x_1+x_2+....+x_n+1)^2 \geq 4(x_1 ^2 +x_2^2+...+x_n^2)$ Geometry 1.กำหนดรูปหกเหลี่ยม ABCDEF มีสมบัติว่า AB=BC , CD = DE , EF = FA จงแสดงว่า$ \dfrac{BC}{BE}+ \dfrac{DE}{DA}+ \dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{3}{2}$ 2.กำหนด ABCDE เป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่ง AB = BC, มุม ABE+มุม DBC = มุม EBD และ มุม AEB+มุม BDC = 180 จงพิสูจน์ว่า จุด Orthocenter ของ สามเหลี่ยม BDE อยู่บน AC 11 กันยายน 2012 19:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
#50
|
||||
|
||||
2.algebra
จาก $0<x_i<1,x_i^2<x_i$ $(x_1+x_2+\cdots+x_n+1)^2=(x_1+x_2+\cdots+x_n-1)^2+4(x_1+x_2+\cdots+x_n) \ge 4(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)$ จึงได้ตามต้องการครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 11 กันยายน 2012 20:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 เหตุผล: $x_n$ |
#51
|
||||
|
||||
ข้อ $x^y=y^x$
เห็นได้ชัดว่า x กับ y ต้องมีชุดของจำนวนเฉพาะที่หารลงตัวร่วมกัน เมื่อ x,y>1 ให้ $x=p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_n^{i_n}, y=p_1^{j_1}p_2^{j_2}\cdots p_n^{j_n}$ พิจารณา $z$ เมื่อ $p^z_m || x^y, 1 \le m \le n$ จาก $x^y=y^x$ จะได้ $i_my=j_mx$ นั่นคือ $\dfrac{i_m}{j_m} = \dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{d}$ เมื่อ $\dfrac{c}{d}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ จาก $c|i_m$ และ $d|j_m$ ให้ $a = p_1^{\frac{i_1}{c}}p_2^{\frac{i_2}{c}}\cdots p_n^{\frac{i_n}{c}}$ จึงได้ $x=a^c,y=a^d$ WLOG ให้ $c \ge d$ ถ้า $c=d$ เห็นได้ชัดว่าสมการเป็นจริง (กรณีนี้จะได้ x=y) ถ้า $c>d$ จาก $\dfrac{c}{d}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำของ $\dfrac{x}{y}$ $c=a^{c-d},d=1$ $c=a^{c-1},y=a$ ซึ่งผลเฉลยเดียวที่สอดคล้องคือ $a=2,c=2$ (ถ้า a=1 จะขัดแย้งกับเงื่อนไข) (x,y)=(2,4),(4,2) ถ้า x หรือ y เท่ากับ 1 ได้คำตอบเดียวเป็น (1,1) $\therefore x=y \ \bigvee \ (x,y)=(2,4),(4,2)$ เป็นผลเฉลยของสมการนี้ครับ <แอบยาว>
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#52
|
||||
|
||||
Geometry 1 ลองใช้ Ptolemy's Inequality ดูครับ ไม่แน่ใจว่าได้มั้ย =3="
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#53
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ACE เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือเปล่า ? ยังไม่ได้ลอง Ptolemy's Inequality
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#54
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#55
|
||||
|
||||
#55 ก็ลองสิครับ จะได้ทำได้อีกข้อ
|
#56
|
|||
|
|||
คนบ้ายุ ลองก็ลอง ลองมั่วดู
ถ้า ABCE แนบในวงกลม โดย Ptolemy's theorem จะได้ $ox = 2oa \ \ \to x = 2a \ \ \to \frac{BC}{BE} = \frac{1}{2}$ ทำนองเดียวกัน จะได้ $ \frac{DE}{DA} = \frac{1}{2}$ $ \frac{FA}{FC} = \frac{1}{2}$ นั่นคือ $ \frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ถ้า ABCE ไม่แนบในวงกลม โดย Ptolemy's inequality จะได้ $ oa +oa \geqslant ox \ \ \to 2a \geqslant x \ \ \to \frac{BC}{BE} \geqslant \frac{1}{2}$ ทำนองเดียวกัน จะได้ $ \frac{DE}{DA} \geqslant \frac{1}{2}$ $ \frac{FA}{FC} \geqslant \frac{1}{2}$ นั่นคือ $ \frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} \geqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geqslant \frac{3}{2} \ \ \ Q.E.D.$ ดูๆไปมันยังทะแม่งๆ มีช่องใหว่อยู่ (คงต้องพิสูจน์ว่า สามเหลี่ยมข้างในเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และพิสูจน์ Ptolemy's inequality ด้วยหรือเปล่า )
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#57
|
|||
|
|||
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#58
|
||||
|
||||
ถ้าไม่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าล่ะครับ + Ptolemy's inequality ไม่ต้องพิสูจน์ก็ได้
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#59
|
|||
|
|||
#48 คำตอบไม่เท่ากับผมอ่ะครับ ขอลองตรวจทานก่อน ลองคิดกรณีทั่วๆ ไปด้วยนะครับ
อสมการข้อ 2 ข้องคุณ จูดกัดเหลียง ทำไงอ่ะครับ ผมทำแล้วกลับข้างตลอดเลยมันน่าจะ sharp มากๆเลยอ่ะ = = |
#60
|
|||
|
|||
combinatorics ข้อแรกนะครับ ก็ให้ $x_i$ แทนจำนวน ชั่วโมงในการอ่านหนังสือตั้งแต่วันแรกถึงวันที่ i ดังนั้น
$1 \leq x_1 < x_2<x_3 < ... <x_ {37} \leq 60$ โจทย์บอกให้พิสูจน์ว่า ต้องมีช่วงเวลาที่อ่านหนังสือรวมกันได้ 13 ชั่วโมง ดังนั้นต้องมีน $x_j=x_k+13$ $x_i , i=1,2,3,...,37$ เป็นจำนวนเต็มแตกต่างกัน ดังนั้น $x_i+13,i=1,2,3...,37$ เป็นจำนวนเต็มแตกต่างกัน $x_1+13 <x_2+13 <x_3+13 < ... < x_{37}+13 \leq 73$ ใน $x_1,x_2,...,x_{37},x_1+13,x_2+13,...,x_{37}+13$ อยู่ในช่วง $1-73$ ดังนั้น จะมี $x_j=x_k+13$ จะได้ $x_j-x_k =13$ โดย $1 \leq k < i \leq 37$ |
|
|