Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ]

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาประเดิมMarathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ] ยุคใหม่ หลังจากเงียบเหงาไปนาน

ไปเจอข้อนี้ เห็นว่าสวยดี ก็เลยเอามาโพสต์

ผมเองก็ยังไม่ได้คิด มาช่วยกันคิดดีไหมครับ


ถ้า $x^{x^{x^{x^{...} } } } = 2008 \ \ $ และ$ \ \ y^{y^{y^{y^{...} } } } = 2551 \ \ $ แล้ว

$x^{2551 - 543} + y^{2008 + 543} \ \ $มีค่าเท่าไร

1. 4559
2. 4549
3. 4459
4. 4449

มาเจิมให้ก่อนเลยครับ
$x^{x^{x^{x^{...} } } } = 2008 $ จะกลายเป็น $x^{2008}=2008$

$ \ \ y^{y^{y^{y^{...} } } } = 2551 \ \ $ จะกลายเป็น $y^{2551}=2551$

$x^{2551 - 543} + y^{2008 + 543} \ \ =x^{2008}+y^{2551}=2008+2551=4559$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ทีนี้คุณsiren-of-step , คุณscylla_shadowและทุกท่านก็แวะเวียนเอาโจทย์ม.ต้นมาลง
และพยายามช่วยกันทำนะครับกระทู้จะได้ไม่เงียบ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ของคุณกิตติยากจัง ทำโจทย์ผมดีกว่า

ข้อนี้ผมเองก็ยังไม่ได้ทำ เห็นโจทย์สวยดี ก้เลยเอามาโพสต์

มาทำด้วยกันดีไหมครับ

ให้ $A = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2}}$

จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน $\dfrac{A}{50}$

$1. 184$
$2. 186$
$3. 188$
$4. 190$

ว่าแต่ข้อนี้ใครช่วยเฉลยละเอียดทีครับ คุณอาbankerโพสไว้นานแล้วครับ
ป.ล. ผมก้อลองดูแล้วแต่ยังไม่เห็นวิธีsharpๆ เลยอยากให้ชี้แนะด้วยนะครับ

[banker]

แนวคิดผมเป็นแบบนี้ครับ

ให้ $\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2} = B$

$B$ มีทั้งหมด $543$ จำนวนรวมกัน จะได้ว่า

$\dfrac{543}{2007^2} > B \ $ และ

$\dfrac{543}{2549^2} < B \ $ ดังนั้นจึงอนุมานว่า

$\dfrac{543}{2007^2} > B > \dfrac{543}{2549^2}\ \ \ \ \ $ เช่น $ \ 4>3>2$

$\dfrac{2007^2}{543} < \dfrac{1}{B} < \dfrac{2549^2}{543}\ \ \ \ \ $ เช่น $ \ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

$\dfrac{2007^2}{543} < A < \dfrac{2549^2}{543}\ \ \ \ \ $ $(A = \frac{1}{B})$

นั่นคือ $ \ \ 148.3627 < \frac{A}{50} < 239.3149 \ \ \ \ \ $

แล้วจะเลือกตัวไหนใน choice ดีครับ ไปต่อไม่ถูก

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

แนวคิดผมเป็นแบบนี้ครับ

ให้ $\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2} = B$

$B$ มีทั้งหมด $543$ จำนวนรวมกัน จะได้ว่า

$\dfrac{543}{2007^2} > B \ $ และ

$\dfrac{543}{2549^2} < B \ $ ดังนั้นจึงอนุมานว่า

$\dfrac{543}{2007^2} > B > \dfrac{543}{2549^2}\ \ \ \ \ $ เช่น $ \ 4>3>2$

$\dfrac{2007^2}{543} < \dfrac{1}{B} < \dfrac{2549^2}{543}\ \ \ \ \ $ เช่น $ \ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

$\dfrac{2007^2}{543} < A < \dfrac{2549^2}{543}\ \ \ \ \ $ $(A = \frac{1}{B})$

นั่นคือ $ \ \ 148.3627 < \frac{A}{50} < 239.3149 \ \ \ \ \ $

แล้วจะเลือกตัวไหนใน choice ดีครับ ไปต่อไม่ถูก

ก็เลือกข้อ 4. 190 ซิครับลุงเพราะมันมากที่สุด และน้อยกว่า 239.3149

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ก็เลือกข้อ 4. 190 ซิครับลุงเพราะมันมากที่สุด และน้อยกว่า 239.3149

หลวงปู่เคยเข้าฝัน บอกว่าให้เลือกข้อ 3.

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

หลวงปู่เคยเข้าฝัน บอกว่าให้เลือกข้อ 3.

แล้วหลวงปู่ไม่บอกหรือครับว่าคิดยังไง

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ของคุณกิตติยากจัง ทำโจทย์ผมดีกว่า

ข้อนี้ผมเองก็ยังไม่ได้ทำ เห็นโจทย์สวยดี ก้เลยเอามาโพสต์

มาทำด้วยกันดีไหมครับ

ให้ $A = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2}}$

จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน $\dfrac{A}{50}$

$1. 184$
$2. 186$
$3. 188$
$4. 190$

ref : EXIMIUS

หลวงปู่มาเข้าฝันผมอ่ะครับ กลางวันแสกๆเลยครับ

$\frac{1}{A}=\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2}$

จะได้ $\frac{2}{A}<\frac{1}{2007\times 2008}+\frac{1}{2008\times 2009}+...+\frac{1}{2548\times 2549}+\frac{1}{2549\times 2550}$

ทำแบบเดียวกันก็จบครับ จะ bound $\frac{A}{50}$ ออกมาได้สนิท (มั้ง)
ปล.ข้างบนนี้มีจุดที่ผิดอยู่บางจุด (จงใจ) อย่าเมานะครับ

[banker]

$\frac{1}{A}=\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2}$

หลวงปู่บอกว่าอย่างนี้ครับ

$\because \ \ \dfrac{1}{2007^2} > \dfrac{1}{2007 \times 2008} $ และ

$ \dfrac{1}{2008^2} > \dfrac{1}{2008 \times 2009} $

.
.
.

$\dfrac{1}{2549^2} > \dfrac{1}{2549 \times 2550}$

และ $\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2} > \dfrac{1}{2007 \times 2008} + \dfrac{1}{2008 \times 2009} + \dfrac{1}{2009 \times 2010} + ... + \dfrac{1}{2549 \times 2550}$

ดังนั้น
$\frac{1}{A} > \dfrac{1}{2007 \times 2008} + \dfrac{1}{2008 \times 2009} + \dfrac{1}{2009 \times 2010} + ... + \dfrac{1}{2549 \times 2550}$

$\frac{1}{A} > (\dfrac{1}{2007} - \dfrac{1}{2008} ) + (\dfrac{1}{2008} - \dfrac{1}{2009} ) + (\dfrac{1}{2009} - \dfrac{1}{2010} ) + . . . + (\dfrac{1}{2549} - \dfrac{1}{2550} )$

$\frac{1}{A} > \dfrac{1}{2007} - \dfrac{1}{2550} $

$\frac{1}{A} > \dfrac{543}{2007 \times 2550} $

$A < \dfrac{2007 \times 2550}{543} $

$\frac{A}{50} < \dfrac{2007 \times 2550}{543 \times 50} $

$\frac{A}{50} < 188.5027 $

ดังนั้นหลวงปู่จึงชี้ไปที่ข้อ 3. คือจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดแต่ไม่เกิน $\frac{A}{50} $ คือ 188

เอวังจึงมีด้วยประการะชะนี้

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

ใช้ $\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-n}$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
แล้วก็ แทน n=2007,2008,2009,...,2549 แล้วจับบวกกัน จัดรูปนิดหน่อยก็ได้เองครับ
ส่วนคำตอบผมขี้เกียจคิดครับ

ตอนเย็นนั่งพิมพ์เกือบเสร็จแล้ว จู่ๆADSLของที่ทำงานก็มีอันล่มเลยต้องกลับมาทำที่บ้าน
จากแนวคิดของคุณkimchimanจะได้ว่า
$\dfrac{543}{2007\times 2550}<\dfrac{1}{A}< \dfrac{543}{2006\times 2549}$

$\dfrac{2006\times 2549}{543}<A<\dfrac{2007\times 2550}{543}$

$2549=2006+543=[3(543)+377]+543 = 4(543)+377$

$\dfrac{2006\times 2549}{543}=\dfrac{2006\times (2006+543)}{543} = \dfrac{2006^2}{543}+2006 = \dfrac{(3(543)+377)^2}{543}+2006$
$= 9\times 543+2\times 3\times 377+\dfrac{377^2}{543} +2006$
$=4887+2262+261+\frac{406}{543} +2006$
$=9416+\frac{406}{543}$

$\dfrac{2006\times 2549}{543}= 9416+\frac{406}{543}$
$9416+\frac{406}{543}<A<(9416+\frac{406}{543})+8+\frac{212}{543} $
$\frac{A}{50}>188+\frac{16}{50} +\frac{406}{543} >188+\frac{4547}{13575} $

คำตอบจึงได้เท่ากับ$188$
ค่อนข้างถึกไปหน่อยครับ...คิดมือครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ทีนี้มันเป็นข้อสอบถ้าไม่มีtrickจะทำไม่ทันเอาซิครับ
แต่ก้อขอขอบคุณทุกแนวคิดครับ ผมคิดเองก็ถึ้กถึก
เอ้าต่อไปครับ
"มีนาฬิกาทรายอันหนึ่งทำจากกรวย2อันที่มีฐานเป็นวงกลมรัศมีเท่ากันมาประกบยอดเข้าด้วยกัน ถ้ามีทรายอยู่เต็มกรวยอันล่างซึ่งมีสูงตรง 3 ซม.จากนั้นพลิกกลับให้กรวยที่มีทรายขึ้นไปอยู่ข้างบนแล้วให้ทรายไหลลงมาจนหมด ปรากฎว่าทรายจะกองสูง2 ซม.จากฐานของกรวยอันที่สอง
ถามว่ากรวยอันที่ 2 มีสูงตรงเป็นกี่ซม."

กระทู้ม.ปลายกำลังคึกคักเชียวครับ ม.ต้นไปไหนกันหว่า

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ทีนี้มันเป็นข้อสอบถ้าไม่มีtrickจะทำไม่ทันเอาซิครับ
แต่ก้อขอขอบคุณทุกแนวคิดครับ ผมคิดเองก็ถึ้กถึก
เอ้าต่อไปครับ
"มีนาฬิกาทรายอันหนึ่งทำจากกรวย2อันที่มีฐานเป็นวงกลมรัศมีเท่ากันมาประกบยอดเข้าด้วยกัน ถ้ามีทรายอยู่เต็มกรวยอันล่างซึ่งมีสูงตรง 3 ซม.จากนั้นพลิกกลับให้กรวยที่มีทรายขึ้นไปอยู่ข้างบนแล้วให้ทรายไหลลงมาจนหมด ปรากฎว่าทรายจะกองสูง2 ซม.จากฐานของกรวยอันที่สอง
ถามว่ากรวยอันที่ 2 มีสูงตรงเป็นกี่ซม."

ได้ $\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$ ครับ

ถูกมั้ยอ่ะครับ ไม่ค่อยมั่นใจเลยอ่ะ

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

"มีนาฬิกาทรายอันหนึ่งทำจากกรวย2อันที่มีฐานเป็นวงกลมรัศมีเท่ากันมาประกบยอดเข้าด้วยกัน ถ้ามีทรายอยู่เต็มกรวยอันล่างซึ่งมีสูงตรง 3 ซม.จากนั้นพลิกกลับให้กรวยที่มีทรายขึ้นไปอยู่ข้างบนแล้วให้ทรายไหลลงมาจนหมด ปรากฎว่าทรายจะกองสูง2 ซม.จากฐานของกรวยอันที่สอง
ถามว่ากรวยอันที่ 2 มีสูงตรงเป็นกี่ซม."

จากรูปจากกฎของสามเหลี่ยมคล้ายเราจะได้
$\frac{r}{R} = \frac{h-2}{h}$
$r = \frac{h-2}{h}R$...(*)

ปริมาตรของทรายในกรวยหนึ่ง = ปริมาตรของทรายในกรวยสอง
$\frac{1}{3}R^{2}3\pi = \frac{1}{3}R^{2}h\pi - \frac{1}{3}R^{2}(\frac{h-2}{h})^{2}(h-2)\pi$
$3 = h - (\frac{h-2}{h})^{2}h + (\frac{h-2}{h})^{2}2$
$3h^2 = h^3 - h(h^2-4h+4) + 2(h^2-4h+4)$
$3h^2 = h^3 - h^3 + 4h^2 - 4h + 2h^2-8h+8$
$3h^2 -12h+8 = 0$
$h = \frac{12 + \sqrt{144 - 96}}{6}$
$h = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}$

[poper]

ได้เท่ากันเลยครับ แต่พอนึกภาพแล้วไม่ค่อยสมเหตุสมผลเท่าไหร่เลย เพราะคำตอบมีค่าประมาณ 3.1 เองง่ะ สูงกว่ากรวยอันที่1นิดเดียวเอง

[กิตติ]

เพิ่งนั่งลองแต่งโจทย์ให้คิดกันเล่นๆ...คงมาเฉลยในช่วงเย็นๆครับ
กำหนดให้$M,N$เป็นตัวเลขโดดที่มีค่า$1-9$ และการเขียน$MN$หมายถึงเลขสองหลักที่นำเลขโดดมาเขียน
ถ้า$MN$หารด้วย 3เหลือเศษ 1 และ$NM$หารด้วย 3เหลือเศษ 1
จงหาคู่ของ$M,N$ที่ทำให้$M^N+N^M$หารด้วย3ลงตัว

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เพิ่งนั่งลองแต่งโจทย์ให้คิดกันเล่นๆ...คงมาเฉลยในช่วงเย็นๆครับ
กำหนดให้$M,N$เป็นตัวเลขโดดที่มีค่า$1-9$ และการเขียน$MN$หมายถึงเลขสองหลักที่นำเลขโดดมาเขียน
ถ้า$MN$หารด้วย 3เหลือเศษ 1 และ$NM$หารด้วย 3เหลือเศษ 1
จงหาคู่ของ$M,N$ที่ทำให้$M^N+N^M$หารด้วย3ลงตัว

เจอสองตัว โดยใช้หลัก $M+N \equiv 1 \pmod{3}$ แล้วแทนค่า $M^N+N^M \equiv 0 \pmod{3}$ ดูถึกๆยังไงไม่รู้ น่าจะมีวิธีดีกว่านี้
2,5
5,8