|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#46
|
||||
|
||||
$$ \int e^x\sin 2x\ dx = \frac{-e^x\cos 2x}{2} +\frac{1}{2}\int e^x\cos 2x \ dx $$
by parts :$ \int e^x\cos 2x\ dx$ =$ \frac{e^x\sin 2x}{2}-\frac{1}{2}\int e^x\sin 2x \ dx $ กลับไปแทนในสมการเดิม $$ \int e^x\sin 2x\ dx = \frac{-e^x\cos 2x}{2} +\frac{e^x\sin2x}{4}-\frac{1}{4}\int e^x\sin 2x \ dx $$ $$ \frac{5}{4}\int e^x\sin 2x \ dx =\frac{-e^x\cos 2x}{2} +\frac{e^x\sin2x}{4} $$ $$\int e^x\sin 2x \ dx =\frac{e^x\sin2x}{5}-\frac{2e^x\cos 2x}{5}$$ Generalize that $$\int e^{ax}\sin (bx)\ dx=\frac{e^x[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 23 ตุลาคม 2006 11:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#47
|
||||
|
||||
$ \because 2\sin a\cos b = \sin(a+b)+\sin(a-b) $
$$ \int \sin mx\cos nx \; dx=\frac{1}{2}\int \sin(m+n)x+\sin(m-n)x\,dx $$ $$ =\frac{1}{2(m+n)}\int \sin (m+n)x\;d\big((m+n)x\big)+\frac{1}{2(m-n)}\int\sin (m-n)x\,d\big((m-n)x\big) $$ $$ =-\frac{\cos(m+n)x}{2(m+n)}-\frac{\cos(m-n)x}{2(m-n)} $$ ตกลงมันถูกหรือเปล่าครับ ไม่มีใครมา Comment เลย
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 26 มีนาคม 2007 00:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: Double post |
#48
|
||||
|
||||
กะว่าจะรอคำตอบอีกข้อก่อนค่อยตอบ แต่มาตอบก่อนดีกว่า
สองข้อแรกที่ทำมาทำถูกครับ แต่ตกค่าคงตัวเพราะมันเป็นอินทิกรัลไม่จำกัดเขต แต่ยังไม่ได้เช็คว่าทำไมคำตอบข้อสามที่ทดเก็บไว้ถึงไม่ตรงกันกับค่าจากตาราง อ้อ พอจะหาเจอข้อบกพร่องของโจทย์ข้อสามเจอไหมเอ่ย แล้วอย่างไรจึงจะถูก
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#49
|
||||
|
||||
\[ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}} \]คิดอย่างไรครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#50
|
|||
|
|||
โจทย์ข้อนี้ (ซึ่งผมเห็นมาตั้งแต่ตอนที่มีคนเอามาโพสต์ที่ วิชาการ.คอม แล้วล่ะ) ไม่สามารถหาคำตอบออกมาในรูปแบบง่ายๆได้ครับ
|
#51
|
||||
|
||||
แล้วมันคิดอย่างไรครับ ผมคิดตั้งนานก็ไม่ออก แทนค่าตรีโกณแล้วก็ติดรากที่ 2 อยู่ดี
มีวิธีคิดอย่างไรครับ หรือว่าไม่สามารถอินทิเกรตได้
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#52
|
|||
|
|||
ถ้าจะทำจริงๆ ก็กระจาย $$ (1+x^4)^{-1/4} $$ โดยใช้ binomial theorem ออกเป็น power series แล้วก็ integrate term by term ครับ
|
#53
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#54
|
||||
|
||||
ข้อแรกเอามาจาก PROBLEM 21 : ในหน้านี้ครับ (ในเฉลยเป็นแบบไม่จำกัดเขต)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#55
|
||||
|
||||
วิธีในเวบนั้น ยอดจริงๆครับ เปลี่ยนตัวแปรเหนือมากๆ ผมขอเสนอให้อีกวิธี
\[ \text{Let : } x^2 = u \rightarrow dx = \frac{du}{2x} \] จะได้ว่า \[ \int \frac{x^3e^{x^2}}{(x^2+1)^2}dx = \frac{1}{2}\int \frac{ue^u}{(u+1)^2}du=\frac{1}{2}\int ue^u d(\frac{-1}{u+1}) = \frac{1}{2}(\frac{-ue^u}{u+1} + \int \frac{ue^u+e^u}{u+1} du) = \frac{1}{2}(\frac{-ue^u}{u+1} + e^u) + C\] \[ \text{Solution : }\; \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{2}\frac{-x^2e^{x^2}}{x^2+1} + \frac{1}{2}e^{x^2} + C \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 12 เมษายน 2006 10:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#56
|
|||
|
|||
ไหนๆ น้อง Mastermander ก็ทำโจทย์คุณ Warut ข้อที่เป็น ln(x) ไปแล้ว ก็ลองทำข้อนี้ต่อดูมั้ยครับ
จะได้อารมณ์ต่อเนื่อง $$ \int_0^1 \ln(x)\ln(1-x)\, dx $$ p.s. รู้สึกว่าจะมีคนเคยถามข้อนี้ไปแล้วใน webboard ดังนั้นอย่าเพิ่งแอบดูเฉลยก่อนนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 21 เมษายน 2006 18:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#57
|
||||
|
||||
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 09 กรกฎาคม 2006 13:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#58
|
|||
|
|||
สงสัยจะต้อง Hint ซะแล้ว
(1) คำตอบที่ได้จากข้อก่อนหน้าของคุณ Warut นำมาใช้กับข้อนี้ด้วย (2) 1+x+x2+... นำไปสู่อะไรบางอย่าง (3) ข้อนี้ไม่ต้อง By part และ ประเด็นอยู่ที่ ln(1-x) ใบ้ให้ชนิดที่ว่า ช่วยสุดๆ โดยเฉพาะข้อ 2 คือ Hint ที่สำคัญมากๆของข้อนี้ ขอให้คิดออกเร็วๆนะครับน้อง
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#59
|
||||
|
||||
คิดไม่ออกแล้วอะครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#60
|
|||
|
|||
ข้อนี้โฟกัสไปที่ ln(1-x) ครับ
เราพบว่า $ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+... $ เมื่อ |x| < 1 ถ้าอินทิเกรต ตลอดสมการ ดังบรรทัดด้านล่าง พบว่า $$ \begin{array}{lcr} \displaystyle{\int_0^x \frac{1}{1-t}\, dt =\int_0^x 1+t+t^{2}+... \,dt} \\ \displaystyle{-\ln(1-x) =\sum_{k=1}^ {\infty} \frac{x^{k}}{k}} \end{array} $$ จากนั้น แทนลงไปในโจทย์ จะได้ $ \begin{array}{rlc} \displaystyle{\int_0^1 \ln(x)\ln(1-x) \,dx = - \int_0^1 \ln(x)(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k})\,dx}\\ \displaystyle{=-\int_0^1 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}\ln(x)}{k} \,dx} \\ \displaystyle{= -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \int_0^1 x^{k}\ln(x) \,dx}\\ \displaystyle{= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}(\frac{1}{(k+1)^{2}})}\end{array} $ (บรรทัดสุดท้าย ได้จากคำตอบคุณ Warut $ \displaystyle{ \int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}- \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+c} $) ที่เหลือลองทำต่อเองดูนะครับ คำตอบบอกเลยแล้วกัน ว่าเท่ากับ $ 2-\frac{\pi^{2}}{6} $ (ใบ้ให้ว่า ใช้ telescopic และ well-known p-series)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 21 เมษายน 2006 18:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วย integrate ให้หน่อยครับ | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 22 มีนาคม 2005 08:27 |
การ integrate | xbox | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 04 ตุลาคม 2002 17:12 |
integrate | tana | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 01 พฤศจิกายน 2001 22:39 |
สูตรลดทอนของ integrate (sec x)^n | xlover13 | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 08 มิถุนายน 2001 09:25 |
ผม Integrate ข้อนี้ไม่ได้ | <ปอง> | Calculus and Analysis | 12 | 22 เมษายน 2001 19:31 |
|
|