โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. $a,b,c>0$

$\dfrac{a^2-bc}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2}\geq 0$

จาก Chebyshev จะได้ $$(a^2-bc)(\frac{1}{b^2+c^2})+(b^2-ca)(\frac{1}{c^2+a^2})+(c^2-ab)(\frac{1}{a^2+b^2}) \geqslant (a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca))(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+ac^2}) \geqslant 0$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

3. $n$ เป็นจำนวนนับ

$\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$

จาก $\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}} \leqslant \sqrt[n]{n}+\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}$
จะได้ว่า $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$


ปล. ผมว่าข้อ 2 ไม่จริงนะครับ

[nooonuii]

มีคำถามดังนี้ครับ

1. ใช้ Chebychev อย่างไรครับ

2. มีตัวอย่างค้านมั้ยครับ

3. จากบรรทัดแรกทำให้ได้บรรทัดที่สองอย่างไรครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

มีคำถามดังนี้ครับ

1. ใช้ Chebychev อย่างไรครับ

2. มีตัวอย่างค้านมั้ยครับ

3. จากบรรทัดแรกทำให้ได้บรรทัดที่สองอย่างไรครับ

1.ผมก็ WLOG ว่า $a\geqslant b\geqslant c$
จะได้ว่า $a^2-bc\geqslant b^2-ca\geqslant c^2-ab$ (เป็นจริงนะครับ ลองคิดทีละคู่ดูเเล้ว)
เเละ $\frac{1}{b^2+c^2}\geqslant\frac{1}{c^2+a^2}\geqslant\frac{1}{a^2+b^2}$ ครับ
2.ผมเเทนว่า $a=b=c=\frac{1}{2}$ ครับ
3.ใช่อันนี้หรือเปล่าครับ
ถ้าใช่ ผมก็ได้ว่า $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}\leqslant\sqrt[n]{n}-\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}$
กับ $\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leqslant\sqrt[n]{n}+\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}$ เเล้วก็บวกกันอะครับ
ถ้าผมผิดก็ขอโทษล่วงหน้าละกันนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

1.ผมก็ WLOG ว่า $a\geqslant b\geqslant c$
จะได้ว่า $a^2-bc\geqslant b^2-ca\geqslant c^2-ab$ (เป็นจริงนะครับ ลองคิดทีละคู่ดูเเล้ว)
เเละ $\frac{1}{b^2+c^2}\geqslant\frac{1}{c^2+a^2}\geqslant\frac{1}{a^2+b^2}$ ครับ
2.ผมเเทนว่า $a=b=c=\frac{1}{2}$ ครับ
3.ใช่อันนี้หรือเปล่าครับ
ถ้าใช่ ผมก็ได้ว่า $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}\leqslant\sqrt[n]{n}-\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}$
กับ $\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leqslant\sqrt[n]{n}+\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}$ เเล้วก็บวกกันอะครับ
ถ้าผมผิดก็ขอโทษล่วงหน้าละกันนะครับ

1. ขออภัยครับ ผมเช็คผิด คำตอบถูกแล้ว

2. ถ้า $a=b=c=1/2$ ข้างซ้ายจะได้ $6/7$ เองครับ จึงคิดว่ายังเป็นจริง

3. $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}\leqslant\sqrt[n]{n}-\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}$ อันนี้อาจจะไม่จริงครับ

[จูกัดเหลียง]

อ่อๆ ครับ
ไว้เดี๋ยวผมลองคิดใหม่ครับ
เเต่รบกวนลงโจทย์เพิ่มก่อนก็ได้นะครับ

[Keehlzver]

ผมว่าเเล้วว่าตรง Cheybyshev ต้องโดนท้วงเเน่ๆ เพราะลำดับมันไม่ได้ Obvious ขนาดนั้น เวลาเขียนพิสูจน์ของ Cheybyshev ผมอยากเเนะนำว่าให้เขียนตัวลำดับ 2 ตัวให้คนอื่นๆดูด้วย เพื่อความชัดเจน

ส่วนทำไปเเล้วอสมการมันกลับด้านมันคือ Bound ตกขอบครับ ต้องลอง Bound ให้ Sharp กว่าเดิม

โจทย์เพิ่ม

$$a,b,c \in \mathbb{R}$$ $$\frac{a^5+b^5+c^5-(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3} \geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมว่าเเล้วว่าตรง Cheybyshev ต้องโดนท้วงเเน่ๆ เพราะลำดับมันไม่ได้ Obvious ขนาดนั้น เวลาเขียนพิสูจน์ของ Cheybyshev ผมอยากเเนะนำว่าให้เขียนตัวลำดับ 2 ตัวให้คนอื่นๆดูด้วย เพื่อความชัดเจน

ส่วนทำไปเเล้วอสมการมันกลับด้านมันคือ Bound ตกขอบครับ ต้องลอง Bound ให้ Sharp กว่าเดิม

โจทย์เพิ่ม

$$a,b,c \in \mathbb{R}$$ $$\frac{a^5+b^5+c^5-(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3} \geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$

ข้อนี้ผมใช้เอกลักษณ์พีชคณิตอะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. $a,b,c>0$

$\dfrac{a^2-bc}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2}\geq 0$

2. $a,b,c\in (0,1]$

$\dfrac{a}{1+b+ca}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\leq 1$

3. $n$ เป็นจำนวนนับ

$\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$

ยังเหลือข้อ $2,3$ ครับ ข้อหนึ่งผมตั้งใจจะให้ใช้อสมการนี้

$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2} \geq\dfrac{3}{2}\geq \dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}$

และเติมให้อีก 3 ข้อ

4. $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 6(a-b)(b-c)$

5. $a,r,s>0,r\geq s$

$\dfrac{a^r-1}{r}\geq\dfrac{a^s-1}{s}$

6. $a,b,c>0,a+b+c=1$

$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

4. $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 6(a-b)(b-c)$

5. $a,r,s>0,r\geq s$

$\dfrac{a^r-1}{r}\geq\dfrac{a^s-1}{s}$

4. อสมการสมมูลกับ $(a-2b+c)^2\geqslant 0$
5.ผม induction เอาครับ เเต่ยาวไปหน่อย(เเล้วก็ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า)ช่วยเช็คหน่อยนะครับ

my_induction

$a,r,s>0$ เเละ $r\geqslant s$
ให้ $r=s+n$ เเละ $p(s)="\frac{a^{s+n}}{s+n}\geqslant"$
(เห็นได้ว่า $-\frac{1}{r}\geqslant -\frac{1}{s}$)
เเทน $s\rightarrow 1$ จะได้ $p(1)$ จริง เมื่อ $a>1$
ถ้าให้ $p(k)$ จริง จะเเสดงว่า $p(k+1)$ จริง
จาก $p(k)$ จริง จะได้ $\frac{a^{n+k}}{n+k}\geqslant \frac{a^k}{k} \Rightarrow \frac{a^{n+k}}{a^k}\geqslant 1+\frac{n}{k}\geqslant 1+\frac{n}{k+1}$
$\Rightarrow$ $\frac{a^{n+k+1}}{a^{k+1}}\geqslant 1+\frac{n}{k+1}$
ดังนั้น $p(k+1)$ จริง จึงได้ $p(s)$ จริง เมื่อ $a>1$
เเละจาก $s(a^r-1)\leqslant r(a^s-1)$ เมื่อ $0<a\leqslant 1$
นั่นคือ $\dfrac{a^r-1}{r}\geq\dfrac{a^s-1}{s}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมว่าเเล้วว่าตรง Cheybyshev ต้องโดนท้วงเเน่ๆ เพราะลำดับมันไม่ได้ Obvious ขนาดนั้น เวลาเขียนพิสูจน์ของ Cheybyshev ผมอยากเเนะนำว่าให้เขียนตัวลำดับ 2 ตัวให้คนอื่นๆดูด้วย เพื่อความชัดเจน

ส่วนทำไปเเล้วอสมการมันกลับด้านมันคือ Bound ตกขอบครับ ต้องลอง Bound ให้ Sharp กว่าเดิม

โจทย์เพิ่ม

$$a,b,c \in \mathbb{R}$$ $$\frac{a^5+b^5+c^5-(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3} \geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$

ขอบคุณสำหรับคำชี้เเนะครับ
เเต่ อสมการนี้ผมยังกลับด้านอยู่เลยครับ
ไว้เดี๋ยวจะลองคิดใหม่ดู

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ให้ $r=s+n$

สมมติได้ไม่ครบทุกกรณีครับ เพราะ $r,s$ เป็นจำนวนจริง

โจทย์เกือบทุกข้อสามารถใช้อสมการสั้นๆแก้ได้ครับ ไม่ต้องคิดลึก

ตาม concept ของกระทู้นี้คือ โจทย์คิดเองและไม่ยาก

แต่ต้องรู้จักอสมการพื้นฐานเยอะหน่อย

ยกเว้นข้อ 6 ที่ต้องใช้อสมการสองอย่าง

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สมมติได้ไม่ครบทุกกรณีครับ เพราะ $r,s$ เป็นจำนวนจริง

โจทย์เกือบทุกข้อสามารถใช้อสมการสั้นๆแก้ได้ครับ ไม่ต้องคิดลึก

ตาม concept ของกระทู้นี้คือ โจทย์คิดเองและไม่ยาก

แต่ต้องรู้จักอสมการพื้นฐานเยอะหน่อย

ยกเว้นข้อ 6 ที่ต้องใช้อสมการสองอย่าง

ข้อ 5 ครับ
จาก Power Mean เมื่อ $a>1$ จะได้
$$(\frac{a^{r-1}+a^{r-2}+...+a^0}{r})^{\frac{1}{r}}\geqslant (\frac{a^{s-1}+a^{s-2}+...+a^0}{s})^{\frac{1}{s}}\geqslant (\frac{a^{s-1}+a^{s-2}+...+1}{s})^{\frac{1}{r}}
\Rightarrow \frac{a^{r-1}}{r}\geqslant \frac{a^s-1}{s}$$
ถูกไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ข้อ 5 ครับ
จาก Power Mean เมื่อ $a>1$ จะได้
$$(\frac{a^{r-1}+a^{r-2}+...+a^0}{r})^{\frac{1}{r}}\geqslant (\frac{a^{s-1}+a^{s-2}+...+a^0}{s})^{\frac{1}{s}}\geqslant (\frac{a^{s-1}+a^{s-2}+...+1}{s})^{\frac{1}{r}}
\Rightarrow \frac{a^{r-1}}{r}\geqslant \frac{a^s-1}{s}$$
ถูกไหมครับ

คิดว่ายังไม่ใช่ครับ แต่ใบ้ให้ว่าใช้อสมการที่เป็นต้นกำเนิดของ power mean ครับ

[จูกัดเหลียง]

เเล้ว Power mean ถูกไหมครับ
ผมพึ่งอ่านมายัง งงๆ อยู่เลย