|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
|||
|
|||
power mean ต้องทำให้กำลังของตัวแปรในแต่ละข้างเท่ากันทุกเทอมครับ
แต่ที่ทำมาเหมือนกับว่า กำลังของตัวแปรมันไม่สอดคล้องกัน อีกอย่างตรงค่าเฉลี่ยเราต้องหารด้วยจำนวนตัวแปรที่ใช้ แต่ $r,s$ เป็นจำนวนจริงคงเอามาหารแบบนั้นไม่ได้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#62
|
||||
|
||||
เเล้ว ถ้าเปลี่ยนเเต่ละตัวเป็นเเบบนี้ละครับ เช่น $a^{r-1}\rightarrow (\sqrt[r]{a^{r-1}}^r)$
เพื่อให้ มันกำลัง r ทุกตัวครับ (หรือ ต้องเกี่ยวกับว่าเป็นจำนวนเต็มเท่านั้นเหรอครับ)
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#63
|
|||
|
|||
ถ้าทำแบบนั้นข้างขวาก็ต้องเป็นตัวแปรชุดเดียวกันด้วย
และยังมีปัญหาตรงหารด้วย $r$ อีก
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#64
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
get $\frac{a+b}{2}$ $\leqslant$ $(\frac{a^n+b^n}{2})^{\frac{1}{n}}$ when $a=\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}$ , $b=\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}$ then $\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}\leq 2\sqrt[n]{n}$ done!
__________________
Vouloir c'est pouvoir 10 เมษายน 2011 15:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#65
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
get $$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geqslant (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab})$$ and $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geqslant 1 , \sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geqslant \sqrt{a+b+c+ab+bc+ca}=\sqrt{1+ab+bc+ca} ... (*)$$ then get $$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab})\geqslant \sqrt{1+ab+bc+ca}$$ and by cauchy get $$ab+bc+ca \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$$ so $$\sqrt{1+ab+bc+ca}\geqslant 2\sqrt{ab+bc+ca}$$ done! เเต่ผมไม่ชัวร์ ตรง $(*)$ อะครับ สรุปเลยได้หรือเปล่าครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 10 เมษายน 2011 15:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#66
|
||||
|
||||
#54 ข้อ 5 ผมยังมองวิธีที่ไม่ยุ่งกับ calculus ไม่ออกเลยครับ hint หน่อยๆ
หายไปนานเลย พอดีช่วงนี้ไม่ค่อยว่าง แต่วันนี้ได้พักละ 55+ ลองข้อนี้ดูนะครับ ให้ $1\le a,b,c \le2$ จงพิสูจน์ว่า $$4(a^2+b^2+c^2)\le5(ab+bc+ca)$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#67
|
|||
|
|||
ลืมอะไรไปรึเปล่า
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#68
|
|||
|
|||
Hint แล้วคงง่ายไปเลยครับ เพราะมันอยู่ในโจทย์ระดับง่ายของอสมการ Bernoulli
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#69
|
||||
|
||||
อ่อๆ ลืม หาร 3ครับ 555
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#70
|
||||
|
||||
Bernoulli บอกตรงๆคือผมไม่เคยทำโจทย์ที่ใช้อสมการนี้เลยสักข้อเดียวครับ 55+
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#71
|
||||
|
||||
รบกวนคุณ nooonuii หรือ คุณ Lightlucifer ตั้งโจทย์ต่อไปเลยครับ(คิดไม่ออกจริงๆ)
ปล.ข้อที่เหลือผมจะพยายามคิดครับ ปล.2กลัวกระทู้ร้าง
__________________
Vouloir c'est pouvoir 12 เมษายน 2011 17:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#72
|
||||
|
||||
ผมก็กำลังจะเริ่มคิดต่อแล้วครับ
2 วัน พักพอละ 555+
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#73
|
|||
|
|||
7. ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ 8. ให้ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จงหาค่าต่ำสุดของ $(a+2)^2+(\frac{1}{a}+2)^2$ 9. ให้ $a\geq 0$ จงพิสูจน์ว่า $\sqrt[4]{1+a^4}\leq \sqrt[3]{1+a^3}\leq\sqrt{1+a^2}$ 10. จงหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $a^2+2b^2+3c^2+4d^2\geq a+2b+3c+4d+k$ เป็นจริงทุกจำนวนจริง $a,b,c,d$ 11. ให้ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม จงพิสูจน์ว่า $(a+b)(b+c)(c+a)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\geq 9abc$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#74
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$ $\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc+2\sum_{cyc}\sqrt{a^2+abc}\cdot\sqrt{b^2+abc} \geq 4(ab+bc+ca)$ BY CS $\sum_{cyc}\sqrt{a^2+abc}\cdot\sqrt{b^2+abc} = \sum_{cyc}\sqrt{ab}\cdot (\sqrt{a+bc}\cdot\sqrt{b+ac})\ge \sum_{cyc}\sqrt{ab}\cdot (\sqrt{ab}+\sqrt{ab}c)=\sum_{cyc}(ab+abc)=ab+bc+ca+3abc$ so $ a^2+b^2+c^2+3abc+2\sum_{cyc}\sqrt{a^2+abc}\cdot\sqrt{b^2+abc} \ge a^2+b^2+c^2+3abc+2(ab+bc+ca)+6abc \ge 4(ab+bc+ca)$ $\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+9abc \ge 2(ab+bc+ca)$ $\leftrightarrow (a+b+c)^2+9abc \ge 4(ab+bc+ca)$ $\leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc \ge 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$ which is true by Schur's inequality อ้างอิง:
$(a+2)^2+(\frac{1}{a}+2)^2=(a+\frac{1}{a})^2+4(a+\frac{1}{a})+6$ พิจรณา $f(x)=x^2+4x+6$ มีค่าต่ำสุดคือ $2$ เมื่อ $x=a+\frac{1}{a}=-2$ อ้างอิง:
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=(a^2+5a)^2+10(a^2+5a)+24$ พิจรณา$f(x)=x^2+10x+24$ มีค่าต่ำสุดคือ $-1$ เมื่อ $x=a^2+5a=-5$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 12 เมษายน 2011 22:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#75
|
|||
|
|||
ข้อ $8$ $a$ เป็นจำนวนจริงครับ
ข้อ $6$ ทำให้สั้นลงได้โดยใช้ Minkowski inequality ครับ $LHS=\sqrt{a^2+(\sqrt{abc})^2}+\sqrt{b^2+(\sqrt{abc})^2}+\sqrt{c^2+(\sqrt{abc})^2}\geq\sqrt{(a+b+c)^2+(3\sqrt{abc})^2}=\sqrt{1+9 abc}\geq\sqrt{4(ab+bc+ca)}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|