|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
|||
|
|||
2 ข้อนี้ แปะให้ทำเพลินๆนะครับ
(A) If 0 < a< b , Evaluate $$ \int_a^b \frac{e^{\frac{x}{a}}-e^{\frac{b}{x}}}{x} \,\, dx $$ (B) Evaluate $$ \int \arcsin(\frac{2x}{1+x^2}) \,\, dx $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#62
|
||||
|
||||
$$\int \arcsin(\frac{2x}{1+x^2}) \, dx$$
$x=\tan u\quad ,dx=\sec^2u\ du$ $$\int \arcsin(\frac{2\tan u}{1+\tan^2u})\sec^2u\, du$$ $\sin 2u=\frac{2\tan u}{1+\tan^2u}$ $$\int 2u\, d(\tan u)\quad :by\; parts$$ $$2u\tan u-2\int\tan u\ du$$ $$2u\tan u -2\ln|\sec u|+c$$ $$2x\arctan x-\ln(x^2+1)+c$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 06 พฤศจิกายน 2006 00:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#63
|
|||
|
|||
ข้อ B ถูกแล้วครับ ส่วนข้อ A ลองแยกอินทิเกรตเป็น 2 เทอมดูสิครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#64
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#65
|
|||
|
|||
สำหรับ ใครที่ integrate mania ลองทำดูนะครับ (ไม่ยากมาก)
$$ \int \frac{x^2e^{\arctan(x)}}{\sqrt{1+x^2}} \,\, dx$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#66
|
||||
|
||||
งงว้อย
5555555555555555555555555555555555555555555555 |
#67
|
|||
|
|||
โจทย์มอปลายแล้วหรือนี่ ยากจัง
|
#68
|
|||
|
|||
ก็ยอมรับน่ะครับ ว่ากระทู้มันอาจจะแตกต่างจากกระทู้อื่นในห้องมัธยม เพราะจุดเริ่มต้น มาจากการที่คุณ Mastermander อยากศึกษา วิธีอินทิเกรตที่ลึกซึ้งกว่า ม.ปลาย มันก็เลยมีโจทย์แตกแขนงออกไปมากมาย ที่ค่อนไปทางมหาวิทยาลัย
ถ้าสนใจก็ ลองไล่ดูแต่แรกแล้วกัันครับ น่าจะช่วยให้น้องๆมัธยมได้เห็นอะไรที่แตกต่างจากกรอบของหนังสือ ม.ปลาย ป.ล. สำหรับใึครที่ by parts เป็นแล้ว ก็ลองทำข้อที่แปะไว้ล่าสุดได้ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#69
|
||||
|
||||
ยากเหมือนกันนะครับ มองอยู่นานทีเดียว แต่ผมไม่ integrated mania ทำได้ไหมครับพี่ passer-by
Let $u=\arctan x$. We can see that \[ \int \frac{x^2e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int e^u\tan^2 u \sec u du \] Consider \[ \int e^u\tan^2 u \sec u \; du = \int e^u\sec^3u \; du - \int e^u\sec u \; du \] Notice that ${\displaystyle \int e^u \sec ^3 u du = \int e^u\sec u \; d(\tan u) }$. Using the integration by parts, we obtain \[ \begin{array}{ccc}{\displaystyle \int e^u \sec ^3 u \; du } &=& {\displaystyle e^u \sec u \; \tan u - \int \tan u (e^u \sec u \; \tan u + e^u\sec u) \; du } \\ &=& {\displaystyle e^u \sec u \; \tan u - \int e^u \tan ^2 u \sec u du - \int e^u\tan u\sec u \; du } \end{array} \]. Using the integration by parts again, ${\displaystyle \int e^u\tan u\sec u \; du = e^u\sec u - \int e^u\sec u \; du }$ Hence, \[\begin{array}{ccl}{\displaystyle \int e^u\tan^2 u \sec u \; du } &=& {\displaystyle e^u \sec u \; \tan u - \int e^u \tan ^2 u \sec u du - \int e^u\tan u\sec u \; du - \int e^u\sec u \; du} \\ {\displaystyle 2 \int e^u\tan^2 u \sec u } &=& {\displaystyle e^u \sec u \; \tan u -(e^u\sec u - \int e^u\sec u du) - \int e^u\sec u \; du} \\ {\displaystyle \int e^u\tan^2 u \sec u } & = &{\displaystyle \frac{1}{2} \left[ e^u \sec u \; \tan u - e^u\sec u \right] + C } \end{array}\] Replace $u=\arctan x $, so we are done.
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 21 พฤษภาคม 2007 20:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie เหตุผล: แก้ไขเยอะจัดครับ เหอๆ |
#70
|
||||
|
||||
สงสัยผมจะเป็นโรคนี้อยู่แหละครับไม่ทราบว่ามีอีกไหมครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#71
|
||||
|
||||
จัดให้ครับ \[ \int \left( \ln (\ln x) + \frac{1}{(\ln x)^2}\right) dx\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#72
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\displaystyle{\int \left( \ln (\ln x) + \frac{1}{(\ln x)^2}\right) dx=\int \left(e^u\ln u+\frac{e^u}{u^2}\right)du}$ Evaluate $\displaystyle{\int e^u\ln udu}$ with byparts method... $\displaystyle{\int e^u\ln udu=e^u\ln u-\int\frac{e^u}{u}du+C=e^u\ln u-\frac{e^u}{u}-\int\frac{e^u}{u^2}du+C}$ $\therefore\displaystyle{\int \left(e^u\ln u+\frac{e^u}{u^2}\right)du=e^u\ln u-\frac{e^u}{u}+C}$ $\therefore\displaystyle{\int \left( \ln (\ln x) + \frac{1}{(\ln x)^2}\right) dx=x\left(\ln(\ln x)-\frac{1}{\ln x}\right)+C}$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
24 พฤษภาคม 2007 19:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG |
#73
|
|||
|
|||
มา integrate mania กันต่อ (ข้อนี้น่าจะง่ายขึ้นเยอะแล้วล่ะ)
ให้ a >0 หาค่า $$ \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\tan^{-1}x}{x} \,\,d x $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#74
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\int_1^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx+\int_a^1\frac{\tan^{-1}\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}d\left(\frac{1}{x}\right)}$...replace $x$ by $\dfrac{1}{x}$ in the second integral $\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\int_1^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx+\int_1^a\frac{\tan^{-1}\dfrac{1}{x}}{x}dx}$ $\displaystyle{\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\int_1^a\frac{dx}{x}=\frac{\pi}{2}\ln a}$ Note that : $\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}$ ปล. รู้สึกว่าโรคนี้จะมีคนเป็นน้อยมากเลยนะครับ(เอ๊ะ..ละผมไปติดมาจากใครเนี่ย)
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#75
|
|||
|
|||
Another version :
Define $ I= \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\arctan(x)}{x} \,\, dx $ Let $ u =\frac{1}{x}$ and substitute it in given integral. Finally we obtain $ I= \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\arctan(\frac{1}{u})}{u} \,\, du = \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\frac{\pi}{2}-\arctan(u)}{u} \,\, du = \pi \ln a - I $ Hence $ I= \frac{\pi \ln a}{2} $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วย integrate ให้หน่อยครับ | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 22 มีนาคม 2005 08:27 |
การ integrate | xbox | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 04 ตุลาคม 2002 17:12 |
integrate | tana | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 01 พฤศจิกายน 2001 22:39 |
สูตรลดทอนของ integrate (sec x)^n | xlover13 | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 08 มิถุนายน 2001 09:25 |
ผม Integrate ข้อนี้ไม่ได้ | <ปอง> | Calculus and Analysis | 12 | 22 เมษายน 2001 19:31 |
|
|