|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
||||
|
||||
เห็นมึนกับข้อ 8 งั้นมาเฉลยให้ก่อนละกัน ข้อนี้ไม่ได้ใช้ของหนักหรอก
อ้างอิง:
ปล. ที่ต้องใช้ $n>2$ ก็เพื่อการนี้เหละครับ ส่วนกรณี $n=2$ ก็ไม่ต้องทำอะไร แค่ตัดกันไปเลย
__________________
keep your way.
15 พฤศจิกายน 2011 22:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#62
|
|||
|
|||
$a=3,b=2,c=1$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#63
|
||||
|
||||
ขอเคลียร์โจทย์ของคุณ LightLucifer เลยละกัน
แต่วิธีอาจจะดูถึกไปหน่อย $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y}= \frac{(1/x)^2}{5x+(1/x)}+\frac{(1/y)^2}{5y+(1/y)}$$ โดย Caucht-Schwarz (modified) ได้ว่า $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{(1/x+1/y)^2}{5x+5y+1/x+1/y}=\frac{x+y}{(xy)(5xy+1)}$$ AM-GM กับก้อนบนได้ $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{(xy)(5xy+1)}=\frac{2}{\sqrt{xy}(5xy+1)}$$ พิสูจน์ได้ไม่ยากว่าสำหรับจำนวนจริงบวก $a$, $$\frac{2}{\sqrt{a}(5a+1)} \ge -\frac{4}{9} a +\frac{7}{9}$$ ดังนั้น $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge -\frac{4}{9} xy +\frac{7}{9}$$ กลับมาที่โจทย์โดย Power mean (คู่กับ $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=3$) ได้ว่า $xy+yz+zx \le 3$ และอสมการก็คือ $$\frac{1}{2} \sum_{cyc} \frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{1}{2} \left(\, -\frac{4}{9}(xy+yz+zx)+3\cdot\frac{7}{9}\right) $$ แต่เนื่องจาก $xy+yz+zx \le 3$ จึงได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{1}{5x^3+x} \ge \frac{1}{2} \left(\, -\frac{4}{9}(3)+\frac{7}{3}\right) =\frac{1}{2}$$ ปล. ถ้าอยากรู้ว่าตรงบรรทัดที่ 4 ได้มายังไง ก็ต้องใช้อนุพันธ์ให้เป็นครับ สมการเกิดเมื่อ $x=y=z=1$
__________________
keep your way.
|
#64
|
||||
|
||||
กด LIKE เลยครับวิธีนี้
โจทย์ซีรี่ส์นี้ยังไม่จบครับ ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $4(xyz)^4=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+1$ จงพิสูน์ว่า $$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 16 พฤศจิกายน 2011 01:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#65
|
||||
|
||||
$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+2bc} \le 1 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{2bc}{a^2+2bc}\leqslant 2 \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+2bc}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2} =1 $$ เป็นจริงโดยอสมการโคชี Engel Form
|
#66
|
||||
|
||||
ขอโทษอย่างรุนแรงครับ !!!
ผมพิมพ์โจทย์ผิดไปหน่อย ขออภัยครับ T_T
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#67
|
||||
|
||||
มาเฉลยให้ข้อนึงก่อนละกัน
อ้างอิง:
ส่วนเงื่อนไขการเกิดสมการนั้นนอกจาก $a=b=c$ แล้ว ยังมีจุดหนึ่งที่บอกว่า $a^n=a^m$ แต่จาก $n>m$ จึงสรุปได้ว่า $a=b=c=1$ เท่านั้น จึงจะเกิดสมการ
__________________
keep your way.
|
#68
|
||||
|
||||
#63 ช่วยอธิบายวิธีดิฟของพี่ (รุ่นเดียวกับ LightLucifer ใช่ป่ะครับ) PP_nine ให้หน่อยนะครับ
ขอบคุณล่วงหน้าเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#69
|
||||
|
||||
รุ่นเดียวกัน(อย่างมาก)ครับ เพราะถือว่าเรียนเร็วไปปีนึงเหมือนกันเลย
ส่วนเทคนิคนี้อาจเรียนว่าเป็น tangent line ก็ได้ครับ เพราะอสมการที่เราได้นั้นมันเกิดจากเส้นสัมผัส ลองดูตัวอย่างรูปภาพดูครับ คลิ๊กๆๆๆ วิธีทำก็คือ ลองดูว่าสมการมันเกิดเมื่อไหร่ (ในที่นี้เกิดเมื่อ $x=1$) แล้วพิจารณาเส้นสัมผัส ณ จุดนั้น โดยการจะดูว่ามันใช้ได้หรือไม่ ต้องดูที่ความเป็นฟังก์ชันนูนครับ อย่างที่ผมใช้ชัดเจนเลยว่า $f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}(5x+1)}$ เป็นฟังก์ชันลดโดยแท้ ก็น่าจะเป็นฟังก์ชันนูนด้วย ที่นี้เราก็หาความชัน ณ จุดที่มันเกิดสมการ โดยสร้างเป็น linear function อย่างที่ได้นี้ก็คือ $-\frac{4}{9}x+\frac{7}{9}$ นั่นเอง เพราะถ้าเราหาความชัน (โดยอนุพันธ์) ได้แล้ว ค่าคงที่อีกตัวก็หาได้ไม่ยากจากที่มันผ่านจุด $(1,\frac{1}{3})$ เวลาเราสรุปจึงบอกได้ว่า สมการเกิดเมื่อไหร่ เท่านั้นเอง
__________________
keep your way.
|
#70
|
||||
|
||||
อธิบายยากเนอะ ตามภาพนะ
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac{2}{%5Csqrt{a}%285a%2B1%29}+%3E%3D+-%5Cfrac{4}{9}+a+%2B%5Cfrac{7}{9} สังเกตุว่า เส้นโค้งมันจะมากกว่าเส้นตรงตลอดโดยจะเท่ากันที่จุดที่ทำให้อสมการเปนสมการใช่ไหมครับ สมมุติว่าเราต้องการทำกับ $f(x)$ สมมติให้อสมการที่ค่า $x=x_1$ ตอนแรกเราก็ลองติ๊งต่างมาก่อนมามันมีเส้นตรง$p(x)$ที่ทำให้ $f(x) \ge p(x)$ ทีนี้สังเกตุว่ามันสัมผัสที่จุดต่ำสุด เราก็หาความชั้น $f(x)$ ตรงนั้นมาแทนใน $p(x)$ แล้วแทนค่าแก้สมการ $p(x)$ ให้ไดุ้ค่า$p(x_1)$ เป็นค่าที่ทำให้เปนสมการอ่ะ ทีนี้เราก็ต้องมาพิสูจน์อีกทีว่า $f(x) \ge p(x)$ เนี่ยมันจริงรึป่าว เพราะที่เราหา $p(x)$ มาเนี่ย เราแค่ติ๊งต่างว่ามันจริง ซึ่งในบางกรณีมันก็อาจจะใช้ไม่ได้
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#71
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{1}{2(xy)^2+1}$ แต่เตือนไว้ก่อนว่าถ้าเปิดดูแล้วหมดสนุกนะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 16 พฤศจิกายน 2011 23:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#72
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จะได้เงื่อนไข $a+b+c+abc=4$ $\rightarrow a+b+c\ge 3$ อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{5+a}\ge \frac{1}{2}$$ เเต่ (โดยอนุพันธ์) $$\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{5+a}\ge \sum_{cyc} \Big(\frac{1}{18}a+\frac{1}{9}\Big)\ge \frac{1}{2}$$ อสมการท้ายสุดได้โดยเงื่อนไข ปล. ขอบคุณ #69,#70 มากๆเลย
__________________
Vouloir c'est pouvoir 17 พฤศจิกายน 2011 19:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#73
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ใช้ $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z$ $\rightarrow xyz=1, x+y+z\ge 3$ จะได้อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \Big(\frac{x}{x+1}\Big)^n\ge \frac{3}{2^n}$$ โดยอนุพันธ์ ทำให้ได้ว่า $$\sum_{cyc} \Big(\frac{x}{x+1}\Big)^n\ge \sum_{cyc}\Big(\frac{n}{2^{n+1}}x+\frac{2-n}{2^{n+1}}\Big)\ge \frac{n+1}{2^n}\ge \frac{3}{2^n}$$ เมื่อ $n\ge 2$ อย่างที่ พี่ noonuii กล่าวไว้
__________________
Vouloir c'est pouvoir 17 พฤศจิกายน 2011 18:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#74
|
||||
|
||||
มีกรณีไหนที่ดิฟไม่ได้บางไหมครับ หมายถึงกับการแก้อสมการพวกนี้อ่ะนะ(ไม่งั้นก็ดิฟตลอดเลยจิ)
ถ้าfเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้ หา$f'(x)แล้วแทนxณจุดเกิดสมการ>0$แสดงว่าเส้นตรงที่อยากได้อยู่เหนือฟังก์ชันที่ดิฟก็คือ $f(x)\leqslant[f'(x ณ จุดเกิดสมการ)]x+b $ ถ้าfเป็นฟังก์ชันลดโดยแท้$f'(x)แล้วแทนxณจุดเกิดสมการ<0$แสดงว่าเส้นตรงที่อยากได้อยู่ใต้ฟังก์ชันที่ดิฟก็คือ $f(x)\geqslant [f'(x ณ จุดเกิดสมการ)]x+b $ อย่างนี้หรอครับ ปล.มันเทพจริงอะไรจริง 17 พฤศจิกายน 2011 19:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ AnDroMeDa |
#75
|
||||
|
||||
บางอย่างก็ใช้ไม่ได้ครับ อาจเป็นเพราะกราฟตัดกันหลายจุด จึงมีบางช่วงที่มากกว่า บางช่วงน้อยกว่า อสมการก็ไม่เป็นจริง
ส่วนมากถ้ามันจะจริงก็มักจะจัดรูปพหุนามได้ครับ เช่น จัดรูปไปมาจนได้ $(x-3)^2(x^2+x+1) \ge 0$ ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับจำนวนจริงบวก แล้วสมการก็เกิดเมื่อ $x=3$ นั่นเอง ส่วนถ้ามีตัวยกกำลังแปลกๆที่ผมทำอย่าง $\sqrt{x}$ เราก็ให้ $\sqrt{x}=a$ จากนั้นก็จัดไปมาก็จะได้ประมาณข้างต้นครับ
__________________
keep your way.
|
|
|