|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#76
|
|||
|
|||
81. จริง การพิสูจน์แค่ไล่นิยามก็จบครับ
82. เท็จ ผมกับคุณ passer-by เพิ่งพิสูจน์ไปในกระทู้ Calculus Marathon (1) ว่า $a^a>\frac{1}{2}$ ทุกค่า $a>0$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#77
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#78
|
||||
|
||||
84. เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ แล้ว $\displaystyle\lim_{x\to 0}0^x=\lim_{x\to 0}x^0$
85. ฟังก์ชัน $y=x^x\in C^\infty(\mathbb{R})$ 86. คำตอบของสมการ $x^2+ax+b=0,\ a,b\in\mathbb{Z}$ ที่มี discriminant ไม่เป็นลบ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนต่อเนื่องเชิงเดียวได้เสมอ (ดูข้อ 80 ประกอบ)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 11 มกราคม 2007 23:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#79
|
||||
|
||||
84. False
$$0\ne1$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#80
|
||||
|
||||
เท็จ 85. เพราะ $x<0\; $ เพราะ $ \; x^x $ ไม่นิยาม ที่ $x$ เป็นอตรรกยะ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#81
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
87. ให้ $f : (a,b)\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะได้ว่า $f$ เป็น strictly monotone function ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง 88. มีฟังก์ชันต่อเนื่อง $f: [0,1]\to [0,1]$ ซึ่งมีคุณสมบัติว่า $f(x)\neq x$ ทุกค่า $x\in [0,1]$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#82
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1352 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=745 |
#83
|
||||
|
||||
ข้อ 87. ของพี่ noonuii คล้ายๆกับข้อ 83. ของผมรึเปล่าครับ?
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#84
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ป.ล. ยังเหลือข้อ 52, 59, 66, 68, 71, 75, 76, 77, 79, 83, 86, 87 ไม่ทราบว่ามีคนยังตามคิดข้อเหล่านี้อยู่รึเปล่าครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#85
|
|||
|
|||
52. จริง ไม่รู้จะทำยังไงแล้วครับ ก็เลยให้น้องเปิ้ลช่วยคิด
จากข้อสังเกตของคุณ Warut เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^{n-1}}>1}$$ ถ้า $n\geq 8$ จะได้ว่า $\ln{n}>2$ ดังนั้น $$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^{n-1}}>\frac{\ln{2}}{2}+\frac{\ln{3}}{2^2}+\frac{\ln{4}}{2^3}+\frac{\ln{5}}{2^4}+\frac{\ln{6}}{2^5}+\frac{\ln{7}}{2^6}+\sum_{n=8}^{ \infty} \frac{2}{2^{n-1}}}$$ $$\displaystyle{=\frac{\ln{2}}{2}+\frac{\ln{3}}{2^2}+\frac{\ln{4}}{2^3}+\frac{\ln{5}}{2^4}+\frac{\ln{6}}{2^5}+\frac{\ln{7}}{2^6} +\frac{1}{32} \approx 1.012750657}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#86
|
|||
|
|||
ข้อ 52. นี่ผมก็ทำคล้ายๆกับคุณ nooonuii ครับ แต่สามารถลดการคำนวณลงได้อีกนิดนึงดังนี้ $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^{n-1}} >\frac{\ln{2}}{2}+ \frac{\ln{3}}{2^2}+ \frac{\ln{4}}{2^3}+ \frac{\ln{5}}{2^4}+ \frac{\ln{6}}{2^5}+ \frac{\ln{6}}{2^6}+ \frac{\ln{6}}{2^7}+ \cdots$$ $$=\frac{\ln{2}}{2}+ \frac{\ln{3}}{2^2}+ \frac{\ln{4}}{2^3}+ \frac{\ln{5}}{2^4}+ \frac{\ln{6}}{2^4} \approx 1.007 > 1$$
หมายเหตุ ข้อนี้ถ้าใครมีแค่เครื่องคิดเลขธรรมดา (ไม่ใช่ scientific calculator) และจำค่า $e$ ได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ก็ทำได้แล้วครับ เพราะว่า $$ \frac{\ln{2}}{2}+ \frac{\ln{3}}{2^2}+ \frac{\ln{4}}{2^3}+ \frac{\ln{5}}{2^4}+ \frac{\ln{6}}{2^4} $$ $$= \frac{1}{16} \ln(2^8 \cdot 3^4 \cdot 4^2 \cdot 5 \cdot 6) = \frac18 \ln(576\sqrt{30}) $$ ดังนั้นเราจึงแค่แสดงว่า $$ \sqrt{ \sqrt{ \sqrt{ 576\sqrt{30} } } } \approx 2.73 > e$$ ป.ล. ตอนนี้ผมยังไม่ได้ให้เวลากับกระทู้นี้เท่าไหร่เลยครับ เพราะเห็นว่าเป็นกระทู้ที่เราแค่เล่นกันสนุกๆไม่มีความเร่งร้อนอะไร 13 มกราคม 2007 01:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#87
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#88
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้าหาก $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ และ $\beta_1, \dots, \beta_m$ เป็น algebraic numbers โดยที่ $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ ไม่เป็น $0$ พร้อมกันทุกตัว และ $\beta_1, \dots, \beta_m$ แตกต่างกันทั้งหมด แล้วเราจะได้ว่า $$\alpha_1e^{\beta_1} +\alpha_2e^{\beta_2} +\dots+ \alpha_me^{\beta_m} \ne0$$ (Lindemann คือคนที่พิสูจน์ว่า $\pi$ เป็น transcendental number โดยอาศัยใช้ความจริงที่ว่า $e^{\pi i}=-1$ ครับ) เราจะพิสูจน์ว่า ถ้า $n\in\mathbb N$ แล้ว $\sin n$ เป็น transcendental number โดยใช้ contradiction ดังนี้ครับ สมมติให้ $\sin n$ เป็น algebraic number ดังนั้นจะมีพหุนาม $$p(x)= a_0 +a_1x +a_2x^2 +\dots +a_mx^m$$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ $a_0,\dots,a_m$ เป็นจำนวนเต็ม ที่มี $\sin n$ เป็นราก นั่นคือ $p(\sin n)=0$ เนื่องจาก $$\sin n=\frac{e^{ni}-e^{-ni}}{2i}$$ แทนค่า $\sin n$ ในรูปนี้ลงไปใน $p(x)$ แล้วคูณกระจายออกมา ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในรูป $$\alpha_0e^0 +\alpha_1e^{ni} +\alpha_{-1}e^{-ni} +\dots +\alpha_me^{mni} +\alpha_{-m}e^{-mni} =0$$ โดยที่ $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_{-1}, \dots, \alpha_m, \alpha_{-m}$ เป็น algebraic numbers ที่ไม่เป็น $0$ พร้อมกันทุกตัว จะเห็นว่าผลลัพธ์ที่ได้นี้มันขัดกับ Lindemann?Weierstrass Theorem ดังนั้น $\sin n$ จึงต้องเป็น transcendental number ครับ |
#89
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#90
|
|||
|
|||
กระทู้เงียบไปแล้ว ข้อที่เหลือถ้าไม่มีใครมาตอบผมจะเฉลยเร็วๆนี้ครับ วันนี้เอาโจทย์ชุดใหม่มาให้ครับ
88. $\displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ 89. ให้ $N$ เป็นจำนวนนับใดๆ จะได้ว่า $\displaystyle{ \sum_{m=-N}^{N} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{(m+ni)^2} =0 } $ เมื่อ $i=\sqrt{-1}$ และ ตัวดรรชนีไม่นับกรณีที่ $m=n=0$ 90. มีจำนวนจริง $a$ เพียงสามค่าที่ทำให้สมการ $(x+1)^2 = |x+a|$ มีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบ 91. ถ้า $3$ หาร $2a - 7b$ ลงตัว และ $4$ หาร $7a+2b$ ลงตัว แล้ว $5$ หาร $a^2+b^2$ ลงตัว 92. $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 3\sqrt[3]{3}$ 93. ถ้า $2z \leq 3x + 5y \leq 7z$ และ $3z \leq 5x + 7y \leq 11z$ แล้ว $x + 3y + 7z \geq 0$ 94. ในบรรดาสมาชิก Mathcenter ทั้งหมด(นับจนถึงปัจจุบัน) จะมีอย่างน้อย 20 คนที่ได้ฉลองวันคล้ายวันเกิดในวันเดียวกัน (ห้ามไปฉลองวันที่ไม่ได้เกิดนะครับ ) ปิดท้ายด้วยข้อสอบ Qualify วิชา Topology ที่ผมเพิ่งสอบเสร็จไปหมาดๆครับ ทำผิดไปเยอะเลย 95. ถ้า $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} }$ เมื่อ $x_n,y_n \in \{0 , 2\} $ แล้วจะได้ว่า $x_n = y_n$ ทุกค่า $n\in\mathbb{N}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Trigonometric Marathon | Mastermander | พีชคณิต | 251 | 24 พฤศจิกายน 2013 21:21 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|